¿Cuál es el significado de la notación integral compleja doble utilizada en física?

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¿Cuál es el significado de la notación integral compleja doble utilizada en física?

Física
notación
convenciones
integración
números complejos

knzhou

En el libro de materia condensada de Altland y Simons, se introducen integrales gaussianas complejas. Definición $z = x + i y$ y $\bar{z} = x - i y$ , la integral compleja sobre $z$ es

\int d (\bar{z}, z) = \int_{- \infty}^{\infty} d X d y .

$\int d(\bar{z}, z) = \int_{-\infty}^\infty dx \, dy.$ De esta forma, cualquier integral sobre

z

$z$ se puede hacer simplemente rompiendo en partes reales e imaginarias.

Estoy confundido acerca de cómo se usaría realmente la notación de la izquierda, tal como está. Parece que debe tener algún significado además de solo $dx \, dy$ , o no debería tener sentido introducirlo.

Es posible romper la integral doble $\int d(\bar{z}, z)$ en dos integrales complejas individuales y hacerlo individualmente? Por ejemplo, si tuviéramos que escribir

\int d (\bar{z}, z) = \int d \bar{z} \int d z

$\int d(\bar{z}, z) = \int d \bar{z} \int dz$ entonces, ¿cuáles serían los límites de la integración? Para la integral interna, ¿no es el valor de

z

$z$ determinada por el valor de

\bar{z}

$\bar{z}$ ? Alternativamente, si consideramos

z

$z$ y

\bar{z}

$\bar{z}$ como independiente, entonces ¿dónde está la restricción?

\bar{(z)} = \bar{z}

$\bar{(z)} = \bar{z}$ ¿Adelante? ¿Debe considerarse cada una de estas integrales como integrales regulares o integrales de contorno? Si no descomponemos la integral en dos, es

d (\bar{z}, z)

$d(\bar{z}, z)$ algún tipo de elemento de área? En ese caso, ¿cómo se hace una integral de superficie compleja?

En general, no entiendo qué objeto $d(\bar{z}, z)$ es. ¿Qué es y cómo nos integramos sobre él?

qmecanico

¿ Qué preguntas de Matemáticas ?

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Puede ser útil lo siguiente: Bajo la ecuación (3.17)

\begin{matrix} (3.17) & \int d (v^{†}, v) {mi}^{- v^{†} A v} = π^{norte} det A^{- 1} \end{matrix}

$\int d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)e^{-\mathbf{v}^\dagger\mathbf{A}\mathbf{v}}=\pi^{N}\det\mathbf{A}^{-1} \tag{3.17}$ los autores señalan: " ...donde $\:\mathbf{v}\:$ es un vector complejo de N componentes, $\:d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)\equiv \prod\limits_{i=1}^{N}d\mathrm{Re}\:v_{i}\,d\mathrm{Im}\:v_{i}\:$ , y $\:\mathbf{A}\:$ es una matriz compleja con parte hermítica definida positiva".

Respuestas (3)

¿Cuál es el significado de la notación integral compleja doble utilizada en física?

Puede ser útil lo siguiente: Bajo la ecuación (3.17) $\begin{matrix} (3.17) & \int d (v^{†}, v) {mi}^{- v^{†} A v} = π^{norte} det A^{- 1} \end{matrix}$ $\int d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)e^{-\mathbf{v}^\dagger\mathbf{A}\mathbf{v}}=\pi^{N}\det\mathbf{A}^{-1} \tag{3.17}$ los autores señalan: " ...donde $\:\mathbf{v}\:$ es un vector complejo de N componentes, $\:d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)\equiv \prod\limits_{i=1}^{N}d\mathrm{Re}\:v_{i}\,d\mathrm{Im}\:v_{i}\:$ , y $\:\mathbf{A}\:$ es una matriz compleja con parte hermítica definida positiva".

qmecanico · Answer 1

Las notaciones complejas $^1$

\begin{matrix} (1) & \int_{C} d z^{*} d z, \end{matrix}

$\int_{\mathbb{C}}\!\mathrm{d}z^{\ast}~\mathrm{d}z, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \int_{C} d^{2} z, \end{matrix}

$\int_{\mathbb{C}}\!\mathrm{d}^2z, \tag{2}$ y notaciones similares, significan una integración doble real

\begin{matrix} (3) & norte \iint_{R^{2}} d X d y \end{matrix}

$N\iint_{\mathbb{R^2}} \!\mathrm{d}x~\mathrm{d}y\tag{3}$ en el plano complejo

C ≅ R^{2}

$\mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$ con coordenadas

z = x + i y

$z=x+iy$ , dónde

N

$N$ es un factor de normalización convencional que depende del autor.

$N=1$ convención:

A. Altland y B. Simons, Teoría del campo de la materia condensada, 2.ª ed., 2010. Véase, por ejemplo, la oración anterior a la ec. (3.11).

$N=2$ convención:

J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1, 1998. Véase, por ejemplo, ec. (2.1.7).
R. Blumenhagen, D. Lust & S. Theisen, Conceptos básicos de la teoría de cuerdas, 2012. Véase, por ejemplo, la nota al pie de la página. 85.

$N=2i$ convención:

JH Negele & H. Orland, Quantum Many-Particle Systems, 1998. Véase, por ejemplo, eq. (1.124).

--

$^1$ Tenga en cuenta que $z^{\ast}=x-iy$ denota la variable conjugada compleja. No es una variable compleja independiente. En particular, la integración (1) ha terminado $\mathbb{C}$ . no ha terminado $\mathbb{C}^2$ . Consulte también, por ejemplo , esta publicación de Math.SE, esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

En la práctica, ¿hay alguna forma de "integrar sobre $z$ y $\bar{z}$ sin cambiar a $x$ y $y$ ?
Sí. Por ejemplo, en el método de estado coherente complejo . Ver, por ejemplo, esta publicación de Math.SE.
¿Podría vincular a un recurso que haga un cálculo explícito en este formalismo? Por ejemplo, ¿los cálculos aquí son legítimos?

jamals · Answer 2

Este problema surge a menudo en la teoría de campos conformes, cuando podemos estar interesados en la teoría de campos euclidiana pero analíticamente seguimos investigando. $\mathbb C^2$ . Supongamos que tenemos coordenadas euclidianas reales $(x,y)$ y formar las coordenadas complejas,

z = X + i y, \bar{z} = X - i y .

$z = x+iy, \quad \bar z = x-iy.$

Es fácil demostrar que la métrica $dx^2 + dy^2 = dz d \bar z$ , eso es, $g_{zz} = g_{\bar z \bar z} = 0$ y $g_{z\bar z} = g_{\bar z z} = \frac12$ . De esto podemos deducir que la medida para la integración es,

d z d \bar{z} = 2 d X d y

$dz d \bar z = 2 dx dy$

y por lo tanto hay un factor de dos diferencia entre $\int d^2 z$ y $\int d^2 x$ . podemos tratar $z$ y $\bar z$ como totalmente independiente que luego nos extiende a $\mathbb C^2$ . Devolver a $\mathbb R^2 \subset \mathbb C^2$ , debemos hacer la identificación que $\bar z = z^\star$ , es decir, están relacionados por conjugación y no son independientes.

¿Podría dar un ejemplo de un cálculo usando $dz$ y $d\bar{z}$ , eso no solo cambia de nuevo a $dx$ y $dy$ ?
@knzhou Bueno, en general la integral de contorno $\int dz \int \bar z$ tratando $z$ y $\bar z$ como medios independientes integramos $z$ sobre algún contorno $C_1$ y $\bar z$ sobre algún contorno $C_2$ . Tenga en cuenta que el orden importa; eso es, $\int_{C_1} dz \int_{C_2} d\bar z \neq \int_{C_1} d \bar z \int_{C_2} dz$ . Hay más sutilezas cuando se integra una función compleja de múltiples variables sobre múltiples contornos.
Pero, ¿qué pasa con el caso específico de integrar sobre el plano complejo? Ese es mi problema: es confuso lo que los contornos $C_1$ y $C_2$ sería en este caso.

nefente · Answer 3

Tampoco me gusta esta notación, porque implica un significado que no está ahí.

Los autores definen

\int d (\bar{z}, z) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} d X d y .

$\int d(\bar{z}, z) \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \, dy.$ Nota la

\equiv

$\equiv$ en lugar de un

=

$=$ firmar.

$d(z,\bar z)$ es literalmente el elemento de área del plano euclidiano. El ejemplo que nos ocupa del libro es

\int d (\bar{z}, z) {mi}^{- \bar{z} w z} \equiv \int_{- \infty}^{\infty} d X d y {mi}^{- X^{2} w - y^{2} w} = {\sqrt{\frac{π}{w}}}^{2}

$\int d(\bar{z}, z) e^{-\bar z w z} \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \, dy e^{-x^2 w - y^2 w} =\sqrt{\frac{\pi}{w}}^2$

No hay dos variables complejas independientes en juego aquí. Una es la integración de funciones de $\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ vistas como funciones de $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{C}$ .

Si tuviera que adivinar, diría que eligieron la notación porque puede parecer un poco extraño escribir, por ejemplo

\int d X d y {mi}^{- \bar{z} w z} .

$\int dxdy\, e^{-\bar z w z}.$

Tal vez una elección de notación menos confusa sería $d(z,\bar z) \equiv d\Re(z)d\Im(z)$ indicando la integración sobre la parte real e imaginaria por separado.

no puedo estar de acuerdo Si la notación realmente significa nada más que dos integrales reales, entonces ¿por qué pasar una página cubriendo integrales gaussianas complejas si son todas iguales a las reales?
Además, hay esta pregunta en Math.SE que demuestra que las manipulaciones con el $d(\bar{z}, z)$ en realidad podría ser posible/útil.
Bueno, un Gaussiano complejo es solo dos reales. Si observa las fórmulas, verá que son perfectamente análogas al caso real. Pero debido a que se usarán mucho cuando se presente la integral funcional bosónica, hay una buena razón para dar una referencia completa. Con solo echar un vistazo a la publicación de Math.SE, no estoy convencido, pero le echaré un vistazo. Tal vez hay más estructura.
Creo que tienes razón. Más exactamente, los autores señalan: " Aquí, $\:\int d(\bar{z}, z) \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \, dy\:$ representa la integración independiente sobre las partes real e imaginaria de $\:z = x + iy\:$ . La identidad es fácil de probar: debido al hecho de que $\: \bar{z}\, z = x^{2}+y^{2}\:$ , la integral se factoriza en dos partes, cada una de las cuales es equivalente a la ecuación. (3.9) con $\:a = 2 w\:$ ." La ecuación (3.9) es $\begin{matrix} (3.9) & \int_{- \infty}^{\infty} d X {mi}^{- \frac{a}{2} X^{2}} = \sqrt{\frac{2 π}{a}}, R mi a > 0 \end{matrix}$ $\int\limits_{-\infty}^\infty dxe^{-\frac{a}{2}x^{2}} =\sqrt{\dfrac{2\pi}{a}},\quad \mathrm{Re}\:a > 0 \tag{3.9}$

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