Dos conjugaciones de supernúmeros

Dejar θ y η denotan supernúmeros complejos impares (también conocidos como números de Grassmann), a y b supernúmeros complejos arbitrarios. Dilo a es ∘ -real (resp. ∘ -imaginario) si a ∘ = a (resp. a ∘ = − a ).

Hay dos candidatos para el papel de ( − ) ∘ , es decir , dos formas de definir la conjugación de supernúmeros: con ( θ η ) ∗ = θ ∗ η ∗ y con ( θ η ) † = η † θ † . (Notación de Cartier y DeWitt-Morette , quienes definen ambos, véase la ecuación (9.13).) Tenga en cuenta que:

  • el producto θ η es ∗ -real cuando θ y η son ∗ -real, mientras θ ∗ θ es ∗ -imaginario;
  • el producto θ η es † -imaginario cuando θ y η son † -real, mientras θ † θ es † -real.

Los físicos suelen utilizar ( − ) † , motivado esto por la correspondencia con la conjugación hermitiana de operadores a través de la cuantización. Dos lugares que utilizan ( − ) ∗ son el borrador del PDF del capítulo 9 de Cartier y DeWitt-Morette (nuevamente) y los campos y cadenas cuánticos de Deligne et al. , vea su PDF " Firmar manifiesto " . Estos últimos dicen sobre su elección (notación ajustada para que coincida):

Esto es una consecuencia de la regla de los signos si suponemos que θ ↦ θ ∗ es un ∗ -operación y θ (super)conmuta con η . (A ∗ -la operación satisface ( a b ) ∗ = ( − 1 ) | a | | b | b ∗ a ∗ .) Note que el enunciado clásico (34) es consistente con el enunciado cuántico (19), ya que la operación adjunta en operadores lineales también es un ∗ -operación.

ecuación (34) es la definición de ( − ) ∗ , y (19) es la afirmación de que la cuantificación de conjugados complejos produce conjugados hermitianos.

Es decir, ¡ ambos campos dicen que su elección es la que se comporta correctamente bajo la cuantización! ¿Qué me estoy perdiendo?

Editar: para colmo de males, la sección 3.3 de Rogers define una conjugación similar a ( − ) † , pero con un i ante términos impares en la condición de realidad; consulte la discusión en la sección Cook 2.10. También hace referencia a Kleppe y Wainwright , quienes definen lo que ellos llaman una "pseudo-conjugación" junto con ( − ) † y obtenga una interesante teoría de grupos a partir de ahí; sin embargo, no es involutiva. Pellegrini , también haciendo teoría de grupos, compara la misma “pseudo-conjugación” con ( − ) ∗ .

Preguntas relacionadas: esto (orden inverso para ( − ) † ) y esto (las derivadas izquierdas se convierten en derecha debajo ( − ) † ).

Respuestas (1)

La respuesta radica en cómo se definen el producto hermitiano y la conjugación en la teoría cuantizada. Las definiciones habituales de los físicos no utilizan la superestructura en el espacio de Hilbert e implican

⟨ tu , v ⟩ = ⟨ v , tu ⟩ ¯ , ⟨ tu , tu ⟩ ≥ 0 , ⟨ tu , T v ⟩ = ⟨ T † tu , v ⟩ .
Las definiciones utilizadas por Deligne et al. , por otro lado, implican la paridad | − | explícitamente:
( tu , v ) = ( − 1 ) | tu | | v | ( v , tu ) ¯ , ( − i ) | tu | ( tu , tu ) ≥ 0 , ( tu , T v ) = ( − 1 ) | tu | | T | ( T ∗ tu , v ) .

Ahora deja mi y F ser vectores pares (estados bosónicos), o y π vectores impares (estados fermiónicos). Entonces la correspondencia entre los productos es

( mi , F ) = ⟨ mi , F ⟩ , ( o , π ) = i ⟨ o , π ⟩ .
En cuanto a la conjugación, vamos PAG ser un operador par y q un operador impar. Entonces
⟨ PAG † mi , F ⟩ = ⟨ mi , PAG F ⟩ = ( mi , PAG F ) = + ( PAG ∗ mi , F ) = + ⟨ PAG ∗ mi , F ⟩ , i ⟨ PAG † o , π ⟩ = i ⟨ o , PAG π ⟩ = ( o , PAG π ) = + ( PAG ∗ o , π ) = + i ⟨ PAG ∗ o , π ⟩ ; ⟨ q † mi , o ⟩ = ⟨ mi , q o ⟩ = ( mi , q o ) = + ( q ∗ mi , o ) = + i ⟨ q ∗ mi , o ⟩ , i ⟨ q † o , mi ⟩ = i ⟨ o , q mi ⟩ = ( o , q mi ) = − ( q ∗ o , mi ) = − ⟨ q ∗ o , mi ⟩ ;
De dónde
PAG † = PAG ∗ , q † = i q ∗ ,
y por lo tanto
( S T ) ∗ = ( 1 / i ) | S T | ( S T ) † = ( 1 / i ) | S T | T † S † = ( 1 / i ) | S T | i | S | i | T | T ∗ S ∗ = ( − 1 ) | S | + | T | T ∗ S ∗ .

De hecho, esto concuerda con la definición adecuada ( Leites et al. , 2011 Russian PDF Sect. 1.11; Berezin and Shubin, 1999 English DjVu Supplement 3 [ MR ]) de una estructura real en una superálgebra compleja,

( a b ) ∗ = ( − 1 ) | a | + | b | b ∗ a ∗ ,
que coincide con ( a b ) ∗ = a ∗ b ∗ en el caso superconmutativo (clásico).

Las peculiares definiciones de Rogers se deben a que utiliza ( − ) † como la conjugación pero sus elementos reales son los ∗ -reales (utilizando la correspondencia a † = i | a | a ∗ establecido para los operadores arriba). La “pseudo-conjugación” de Kleppe y Wainwright y de Pellegrini es lo que Leites et al. llamar a una estructura cuaterniónica; también establecen que estas son las únicas (super)involuciones semilineales interesantes de este tipo hasta un verdadero automorfismo de superálgebra.

Finalmente, tenga en cuenta que mientras ζ ∗ ζ no es real para extraño complejo ζ , { ζ ∗ , ζ } / 2 ≡ ( ζ ∗ ζ + ( − 1 ) | ζ ∗ | | ζ | ζ ζ ∗ ) / 2 es.

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