¿No se desvanece el conmutador de algo consigo mismo?

Qmechanic explicó una forma en la que algo con la palabra "conmutador" no desaparece cuando se aplica a dos del mismo operador. Sin embargo, creo que es necesario señalar que los conmutadores simples, como se ve en un curso de mecánica cuántica, realmente, honestamente, siempre y sin falta satisfacen$[Q,Q] = 0$para cualquier operador$Q$. Esto es porque$[A,B]$se define como el operador$AB-BA$, y claramente esto se desvanece para$A,B = Q$.

La única forma de salir de esto es algo así como un truco: debe definir nuevos "números" con propiedades de no conmutación. Pero solo porque los matemáticos hayan inventado tales conceptos, y solo porque resulta que se aplican a la física, no significa que sean los mismos objetos de los que estás hablando en clase.

I) Sí, probablemente se estén refiriendo a que un operador impar de Grassmann no necesita (super)conmutarse consigo mismo. Tomemos, por ejemplo, el operador diferencial impar de Grassmann de primer orden

$$\tag{1} D~:=~\frac{d}{d\theta}+ \theta\frac{d}{dt}.$$

En la ec. (1)$t$es una variable par de Grassmann y$\theta$es una variable impar de Grassmann, que (super) conmuta

$$\tag{2} [t,t]_{SC}~=~0, \qquad [t,\theta]_{SC}~=~0, \qquad [\theta,\theta]_{SC}~=~2\theta^2~=~0.$$

En la ec. (2) el soporte$[\cdot,\cdot]_{SC}$denota el superconmutador

$$\tag{3} [A,B]_{SC}~:=~ AB-(-1)^{|A|~|B|}BA.$$

El superconmutador es el apropiado$^1$generalización de la noción de conmutador a superálgebras .

El superconmutador de$D$operador (1) consigo mismo no es cero:

$$\tag{4} [D,D]_{SC}~=~ 2D^2~=~2\frac{d}{dt}\neq 0 .$$

II) De manera más general, el hecho de que un operador Grassmann-impar (super)conmute consigo mismo es una condición no trivial, que codifica información no trivial sobre la teoría. Esto se usa, por ejemplo, en supersimetría y en formulaciones BRST .

Por otro lado, el superconmutador de un operador arbitrario par de Grassmann consigo mismo es automáticamente cero.

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$^1$Uno puede preguntarse por qué se usa el superconmutador$[\cdot,\cdot]_{SC}$en lugar del conmutador ordinario

$$\tag{5} [A,B]_{C}~:=~ AB-BA$$ en superálgebras? El conmutador (5) satisface una identidad de Jacobi, y el superconmutador (3) satisface una identidad de superJacobi, por lo que es un empate. :) Una motivación física proviene de la cuantización canónica: como es bien sabido, mecánicamente cuánticamente, dos operadores graduados de Grassmann pueden fallar en conmutar o fallar en superconmutar. Sin embargo clásicamente ( $\equiv$cuando la constante de Planck $\hbar$es cero), para dos funciones graduadas de Grassmann $f$y $g$, a uno le gustaría que la generalización entre paréntesis adecuada $[f,g]$desaparece Para asegurar esto, hay que usar el superconmutador. $[\cdot,\cdot]_{SC}$en lugar del conmutador $[\cdot,\cdot]_{C}$. Desde esta perspectiva, la relación anticonmutadora canónica (CAR) para fermiones es simplemente una deformación cuántica bastante natural de una descripción clásica de superconmutación. Además, el superconmutador (3) [en oposición al conmutador (5)] proporciona una descripción unificada de CCR para bosones y CAR para fermiones. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.