Suma de grupos de signos alternos de cuadrados enteros

Esta es una generalización de la pregunta aquí , asumiendo que el signo cambia para grupos de k cuadrados consecutivos. ¿Cuál es la forma cerrada de la sumatoria?

− 1 2 − 2 2 − 3 2 − ⋯ − k 2 + ( k + 1 ) 2 + ⋯ + ( 2 k ) 2 − ( 2 k + 1 ) 2 − ⋯ + ( 2 metro k ) 2 = ∑ i = 1 2 metro ∑ j = 1 k ( − 1 ) i [ ( i − 1 ) k + j ] 2 = ?

Antecedentes : otros han publicado preguntas anteriormente sobre la suma de cuadrados de números enteros con signos alternos, que resulta ser ± la suma de números enteros. La pregunta en el enlace es interesante ya que es la suma de cuadrados de signos alternos agrupados en pares. Esto lleva a uno a preguntarse si existe una forma general cuando los cuadrados de signos alternos están en grupos de k .

Respuestas (1)

∑ i = 1 2 metro ∑ j = 1 k ( − 1 ) i [ ( i − 1 ) k + j ] 2 = ∑ r = 1 metro ∑ j = 1 k [ ( 2 r − 2 ) k + j ] 2 + [ ( 2 r − 1 ) k + j ] 2 (tomando términos en pares) = ∑ r = 1 metro ∑ j = 1 k ( 4 r − 3 ) k 2 + 2 j k = k 2 ∑ r = 1 metro ∑ j = 1 k ( 4 r − 3 ) + 2 k ∑ r = 1 metro ∑ j = 1 k j = k 3 ∑ r = 1 metro ( 4 r − 3 ) + 2 metro k ∑ j = 1 k j = metro ( 2 metro − 1 ) k 3 + 2 metro k ⋅ k ( k + 1 ) 2 = metro k 2 ( 2 metro k + 1 ) ◼

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