Serie geométrica de a=2a=2a = 2, r=2r=2r = 2

Question

krispyk

Tengo algunos problemas para determinar la serie geométrica de lo siguiente:

2^{k} + 2^{k - 1} + \dots + 2^{2} + 2

$2^k + 2^{k-1} + \cdots + 2^2 + 2$

Con esto, supongo que $a = 2$ , y la razón común es: $r = 2$

La mayoría de los recursos que encuentro en línea solo prueban la convergencia. Estoy buscando una fórmula k resumida.

Algo

2^{k} - 1

$2^k - 1$

Mar profundo · Answer 1

$2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^k = 2(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{k-1}) = 2\cdot \left(\dfrac{2^k - 1}{2-1}\right) = 2^{k+1} - 2$

pablo b · Answer 2

Si $S = 2+2^2+2^3+\dots +2^{k-1}+2^k$ ,

entonces

2 S = 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{k - 1} + 2^{k} + 2^{k + 1}

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2S=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2^2+2^3+\dots +2^{k-1}+2^k+2^{k+1}$

S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{k - 1} + 2^{k}

$\,\,\,S= 2+2^2+2^3+\dots +2^{k-1}+2^k$

Por eso

S = 2 S - S = 2^{k + 1} - 2

$S=2S-S=2^{k+1}-2$