Solución ingenua
Tenga en cuenta que( un , segundo , c ) ∈Z3> 0
es enT
si y si| segundo-c | <un<segundo+c
. Por lo tanto, si
S( pag , q, r ) : =∑( un , segundo , c ) ∈ TpagaqbrC,
dónde
pag q _, r ∈ C
con
| qr | < 1
,
| rp | <1
, y
| pagq| <1
, entonces
S( pag , q, r ) =∑segundo = 1∞qb∑c = 1∞rC∑un = | segundo - c | + 1segundo + do - 1paga.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que
pag ≠ ± 1
. Eso es,
S( pag , q, r ) =∑segundo = 1∞qb∑c = 1∞rC(pag| segundo-c | +1−pagb + c1 - pag).
consecuencia,
S( pag , q, r ) =11 - pag( pag∑segundo = 1∞( qr)b∑c = segundo∞( p r)do - segundo+ pag∑segundo = 1∞( qr)b∑c = 1segundo - 1(pagr)segundo - c−∑segundo = 1∞( pag q)b∑c = 1∞( p r)C).(*)
Si
pag ≠ r
, entonces
S( pag , q, r ) =11 - pag( pag(qr1 − qr)(11 - pags _) +p∑segundo = 1∞( qr)bpagr−(pagr)b1 -pagr− (pag q1 - pag q)(pr _1 - pags _) ).
Ergo, por
pag ≠ r
, tenemos
S( pag , q, r )=11 - pag( pag(qr1 − qr)(11 - pags _) +p(pagr1 -pagr)(qr1 − qr)una una una una una - pag(11 -pagr)(pag q1 - pag q) − (pag q1 - pag q)(pr _1 - pags _) ).
Simplificando la expresión, obtenemos
S( pag , q, r ) =pag qr( 1 + p qr )( 1 − qr )( 1 - r pag )( 1 - pag q)(#)
cuando
pag ≠ r
..
Sip = r
, entonces puedes usar la continuidad para concluir que (#) se cumple. Alternativamente, de (*), tenemos
S( pag , q, p ) =11 - pag( pag∑segundo = 1∞( pag q)b∑c = segundo∞(pag2)do - segundo+ pag∑segundo = 1∞( segundo - 1 )( pag q)b−∑segundo = 1∞( pag q)b∑c = 1∞(pag2)C).
Eso es,
S( pag , q, p ) =11 - pag( pag(pag q1 - pag q)(11 -pag2) +p(pag q1 - pag q)2− (pag q1 - pag q)(pag21 -pag2) ).
Al simplificar, obtenemos
S( pag , q, p ) =pag2q( 1 +pag2q)( 1 −pag2)( 1 - pag q)2,
que concuerda con (#).
Ahora, en este problema en particular,p = 2
,q=13
, yr =15
. Por lo tanto, por (#),
S( 2 ,13,15) =1721.
Tuve la tentación de usar las sustituciones de Ravi, pero quería ilustrar que un enfoque directo no es tan malo.
inconformista
Abhinav Kumar Singh
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