Suma de dos números irracionales siendo racional o irracional

Actualmente estoy haciendo un proyecto sobre números irracionales y trascendentales y parte de este proyecto requiere que mire sumas y productos de números irracionales.

Soy consciente de que la suma de 2 números irracionales puede ser racional o irracional, pero me preguntaba si alguien conocía una forma definitiva de ver los números y decir si su suma/producto será racional/irracional. ¿Hay algún tipo de teorema que se pueda aplicar o la única forma de saberlo es resolverlo?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Respuestas (2)

"me obliga a observar sumas y productos de números irracionales". entonces no pides trascendental?

La suma o producto de dos números algebraicos irracionales no es necesariamente irracional. Contraejemplos:

( 2 + 2 ) + ( 2 − 2 ) = 4 ( 2 + 2 ) ( 2 − 2 ) = 2

Si tiene algún aporte sobre la suma/producto de dos números trascendentales, ¡también será muy apreciado!
Para la suma/producto de dos números trascendentales no existen reglas conocidas. Ver la respuesta de José.
Pensé que ese sería el caso, ¿alguna idea sobre cómo mostrar eso?
Bueno, hay ejemplos con números trascendentales en ambos sentidos, por ejemplo, para la multiplicación de dos números trascendentales: π ⋅ 2 π = 2 y π ⋅ π = π 2 donde el primer resultado es no trascendental y el segundo es trascendental. Así que no hay reglas claras.

No no hay. Si lo hubiera, sabríamos si mi + π es racional o no. Pero, de hecho, ese es un problema abierto.

Oh sí, eso parece tan obvio ahora. ¡Gracias!
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