Números racionales irracionales

Sé que un número racional siempre se puede expresar como una fracción, pero ¿no podemos decir también que es un número que sigue un patrón definido? Como un tercio por ejemplo; nunca termina como un decimal, pero es predecible. Esto se observa en la mayoría, si no en todos los números racionales, hasta donde yo sé.

Entonces, ¿sería posible que un número sea parcialmente predecible?

¿Podría un número tener exactamente los mismos dígitos que pi, pero en su lugar tener un dígito periódico y predecible?

¿Existe una categoría de números irracionales racionales (o números racionales irracionales)? Por ejemplo, ¿podría un número con dígitos como pi o la raíz cuadrada de 2 tener partes racionales?

Sí, todos los números racionales finalmente tienen un patrón repetitivo cuando se representan en decimal (o cualquier base entera). (Números que terminan, como 1 / 5 se puede pensar que tiene repetición 0 dígitos.)
π tiene dígitos predecibles: solo calcula π a suficientes dígitos para predecirlo. La noción de lo que es "predecible" es una noción vaga.
No estoy seguro de que esto tenga algún sentido. ¿Qué significa exactamente tener los "exactamente los mismos dígitos que π , pero en su lugar tiene un dígito periódico y predecible"? ¿Qué significa que un número irracional tenga "partes racionales"?
Creo que está preguntando si hay una clase de números irracionales donde los dígitos particulares en la expansión decimal aparecen de manera predecible y con un patrón. Como por ejemplo,
0.19528872964211126372...
donde un 2 aparece predeciblemente cada cuarto término decimal... Los primeros tres términos decimales son aleatorios (o si no son aleatorios, simplemente no tienen patrón)
@tennispro1213, sería útil, sin embargo, si interviniera aquí y ayudara a aclarar lo que está buscando.
si un número tiene exactamente los mismos dígitos que pi, entonces es pi. Los números están determinados únicamente por su representación decimal.
exactamente @Eleven-Eleven, eso es lo que estaba pensando
@Travis, espero que los comentarios debajo de la respuesta de Arkamis ayuden a aclarar.
@tennispro1213 Sí, creo que ahora entiendo, saludos.
Aparte, puede interesarle leer acerca de las representaciones de números en fracciones continuas, donde las soluciones irracionales a ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales (como 2 ) tienen expansiones repetidas, pero otros irracionales no.

Respuestas (2)

Es posible que un número irracional tenga un patrón predecible; considerar 0.1101001000100001... . También es posible tener un número irracional que esté a otro número irracional de distancia de un número racional; es decir X − y = r , dónde X , y irracional y r racional; de hecho, las clases de equivalencia de tales números son densas en los reales. Así que puedes restar algún número irracional de π y obtenga un número con un patrón repetitivo... de hecho, cualquier patrón que desee.

¿Significa esto también que uno podría trabajar hacia atrás también? Por ejemplo, si uno comienza con un número con un patrón repetitivo, ¿sería capaz de sumar y restar números hasta que se "cree" pi o cualquier otro número?
Sí, puedes construir pi usando, por ejemplo, una fracción continua. Sin embargo, no solo a través de la suma y la resta; es necesaria la división. En cualquier caso, debe aclarar qué quiere decir con "patrón". Como mencioné, podemos inventar cualquier número de patrones. Que algo sea un patrón no lo hace profundo o interesante.
Por patrón me refiero a una recurrencia reconocible de dígitos o una relación entre ellos. En pi, los dígitos comienzan como 3,1,4,1,5,9... no hay mucho que podamos predecir usando una expresión simple. Pero para un número con los dígitos 3,1,2,4,1,2,5,9,2,.....Vemos que hay un patrón simple de repetición de dos. Entiendo que todo puede parecer tener un patrón si lo analizamos macroscópicamente, pero me gustaría verificar primero que se cumple para patrones básicos y luego extenderlo a patrones más complejos.

Un número racional es aquel que es la razón de dos enteros. Los números racionales tendrán un patrón predecible en sus representaciones decimales, pero esa no es la definición de un número racional. Como han dicho otros, este patrón es que, eventualmente, un bloque de dígitos comenzará a repetirse. En un caso muy simple, por ejemplo 1 / 3 este será solo el dígito único 3 repitiendo Un poco más complejo es 1 / 7000 = 0.000 142857 142857 . . . que tiene tres 0 s seguido de bloques repetitivos de 142857 . Como han dicho otros, esto incluye el caso de terminación al considerar que el bloque repetitivo es 0 .

Son posibles todo tipo de otros patrones predecibles e interesantes, pero no serán números racionales. Lee sobre los números de Liouville . Estos tienen un patrón muy predecible para sus dígitos pero no son racionales, de hecho fueron los primeros números trascendentales conocidos .

Entonces, no, no puedes decir que un racional es uno cuyos dígitos tienen un patrón. Solo es racional si los dígitos siguen el patrón bastante preciso de terminar con un bloque repetido de dígitos.

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