Correlación entre 1/10−−−−√1/10\sqrt{1/10} y longitud de potencias de números enteros.

Estoy buscando información sobre este problema simple que involucra raíces cuadradas y longitud de potencias.
Es muy sencillo pero me parece interesante, al menos a mí.
No soy matemático.

Descripción

Al observar la secuencia de todos los números enteros positivos donde la longitud de sus incrementos cuadrados:

  1  4  10   32   100     317
  1 16 100 1024 10000  100489

Podemos ver que sucede alternativamente en potencias de 10 y en algunos números particulares.

Este es el algoritmo en Ruby que creo que se explica por sí mismo: to_s convierte un número en una cadena para que podamos tomar su longitud, imprimimos x si su potencia aumenta en longitud.

length = 0
temp   = 0
1.step{|x|
 if length < temp = (x**2).to_s.size
  length = temp 
  print"#{x}\n"
 end
}

¡Pruébelo en línea!

Si descartamos potencias de 10 tenemos esos números particulares:

4 32 317 3163 31623 316228 3162278 ..

Resulta que son la secuencia de dígitos de √(1/10)

31622776601683793319988935444327185337195551393252168268575048527925944386392382213442481083793002951873472841528400551485488560304538800146905195967001539033449216571792599406591501534741133394841240853169295770904715764610443692578790620378086099418283717115484063285529991185968245642033269616046913143361289497918902665295436126761787813500613881862785804636831349524780311437693346719738195131856784032312417954022183080458728446146002535775797028286440290244079778960345439891633492226526120677926516760..

Se mejoró el algoritmo para dar muchos dígitos con menos recursos.
Aprovecha la observación de que el siguiente número difiere solo en los dos últimos dígitos. Más precisamente podemos observar que después de x tenemos un número en el rango [ (x-1)10 .. x10 ).
Pero esto es solo un atajo, sigamos con el algoritmo original que involucra longitudes.

Un compañero notó que eran los dígitos de √(1/10) y me explicó... "La longitud de los números enteros aumenta en cada potencia de 10. La longitud de los cuadrados de los números enteros aumenta en (el techo de) cada potencia de √10. La mitad de estas potencias también son potencias de 10, mientras que la otra mitad son potencias de 10 multiplicadas por √(1/10)", que tiene los mismos dígitos de √10 o √1.
Eso tiene sentido, obviamente, pero al mismo tiempo parece un punto de vista diferente. No puedo encontrar ninguna prueba, artículos, nada sobre esto.

Entonces mi pregunta es: ¿Existe alguna información sobre este simple concepto?

No soy matemático. Como nota al margen, parece que podemos calcular raíces cuadradas observando la longitud de las potencias, de hecho, también podemos obtener los dígitos de 2 inspeccionando las longitudes de ( X 2 ) / 2 o ( X 2 ) ∗ 5 y de manera similar √3 por ejemplo.

El método Heron debería ser lo suficientemente eficiente, si no necesita millones de dígitos. PARI/GP puede calcular fácilmente dichos números con precisiones de unos pocos millones de dígitos si realmente lo necesita.
Gracias @Peter, sin embargo, no es que necesite un método alternativo o mejor, se trata más de si existe esta correlación entre la longitud de la potencia y los radicales, me parece extraño que no pueda encontrar nada.
Podrías describirlo fácilmente en términos de los dígitos de 10 = 1 10 × 10 . Nótese también que, dado que 10 es irracional, el mínimo cuadrado con un número par dado de dígitos nos da una sobreestimación de 10 . Por lo tanto, un nuevo dígito será incorrecto hasta la siguiente iteración, que lo reduce en 1 al valor correcto. Esta es la razón por la cual las primeras estimaciones son 4 , 32 , 317 etc.
Gracias @lhf, esto se acerca a lo que estaba buscando, revisé oeis pero no lo encontré

Respuestas (1)

Si norte es el número donde el cuadrado cambia de tener k dígitos a k + 1 dígitos entonces ( norte − 1 ) 2 < 10 k ≤ norte 2 . Entonces norte − 1 < 10 k / 2 ≤ norte . Si k es incluso tenemos norte = 10 k / 2 . Si k = 2 metro + 1 entonces norte − 1 < 10 metro + 1 1 / 10 < norte lo que explica por qué los primeros dígitos de norte coincide con 1 / 10 .

Gracias @jjagmath por dar una prueba bien definida.
Correlación entre 1/10−−−−√1/10\sqrt{1/10} y longitud de potencias de números enteros.
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