Distribución de números irracionales o trascendentales

Digamos que seleccionamos un número aleatorio$0.abc.......$entre$[0,1]$donde cada dígito después del decimal se extrae independientemente de una distribución de probabilidad discreta fija ($\sum P(X=n)=1$para$n\in\{0,1,...9\}$). Obviamente,$0=0.\bar{0}$y$1=0.\bar{9}$se incluyen en este rango. ¿Cuál es la probabilidad de que un número aleatorio sea irracional/trascendental? ¿Hay infinitamente más números trascendentales que números irracionales? ¿Podemos obtener una solución de forma cerrada para una distribución uniforme? ¿Es posible seleccionar una distribución tal que siempre genere un número irracional o racional? Claramente, es posible generar solo números racionales fijando la distribución a una masa puntual fija.