Álgebra abstracta Las raíces cuadradas son irracionales

Para la parte (a), empiezo tratando de probar$S$está vacío implica la raíz cuadrada de$D$es irracional Si tomamos la contrapositiva de esta implicación, esto equivale a probar que si la raíz cuadrada de$D$entonces es racional$S$no está vacío. Dejar$D$sea ​​un entero positivo y supongamos$D$es racional Entonces se sigue que$D^2$es un cuadrado perfecto. Además, S = n*D^1/2 y dado que n y D son números enteros positivos, entonces, por definición, S no es vacío. Por el contrario, deseamos probar que la raíz cuadrada de D no es racional implica que S está vacío. Pero esto se sigue trivialmente del producto de un número racional e irracional. No estoy seguro de si mi razonamiento es sólido, pero se agradecería una crítica constructiva.

Para la parte (b), no estoy seguro de cómo usar el buen orden exactamente para probar la desigualdad. Supongo que mi pensamiento inicial fue elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad y luego reorganizar algunos términos. Como la raíz cuadrada de D no es racional, se deduce que D^2 no es un cuadrado perfecto. Entonces podemos enlazarlo apropiadamente?

Para la parte (c), creo que deberíamos comenzar con considerar el número m*(D^1/2 - a). A partir de ahí, no sé cómo proceder. Cualquier ayuda sería muy apreciada.