¿Dónde están los números irracionales?

Se ha denominado que encontrar irracionales es como "encontrar heno en un pajar". Están literalmente en todas partes en los reales, pero es muy difícil enumerar explícitamente muchos de ellos (fuera de las raíces).

Quizás la mejor perspectiva que puedo ofrecer es la decimal. Los números reales se pueden expresar como expansiones decimales. ¿Qué expansiones decimales corresponden a números racionales? Aquellos que son "eventualmente periódicos", es decir, su expansión decimal finalmente comienza a circular con algún período.

Al menos para mí, la idea de que haya muchos menos números que eventualmente sean periódicos que números que no lo sean es una bala mucho más fácil de morder que pensar abstractamente en los tamaños de los conjuntos irracionales y racionales.

Una versión ligeramente diferente de la respuesta de Rushabh que podría hacer que sea aún más fácil de apreciar: en lugar de hablar de racionales y reales analíticos , voy a hablar de algunos 'racionales' y 'reales' topológicos , es decir, un conjunto contable de valores y un conjunto incontable que es la terminación de los contables.

Para hacer esto, voy a desechar la estructura aritmética de los números y mirar sólo la estructura métrica de quién está cerca de quién, y voy a reemplazar los racionales con los racionales diádicos (entre 0 y 1). Esta estructura tiene una descripción isomórfica 'más fácil': los racionales en este mundo corresponden a todas las secuencias binarias de longitud finita$\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$, y los reales corresponden a todos$^*$secuencias binarias de longitud infinita$\{a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots\}$. Podemos hablar de lo cerca que está una secuencia de otra: si tenemos dos secuencias$\mathbf{a}=\{a_i\}$y$\mathbf{b}=\{b_i\}$, entonces definimos la distancia entre ellos como$2^{-n}$, con$n$siendo el primer índice donde no están de acuerdo. Asimismo, podemos poner un orden en estas secuencias: de nuevo dejando$n$ser el primer índice donde$\{a_i\}$y$\{b_i\}$en desacuerdo, decimos$\mathbf{a}\gt\mathbf{b}$si y si$a_n\gt b_n$— en otras palabras, si$a_n=1$y$b_n=0$.

Encuentro que este modelo es mucho más fácil de pensar en términos de compleciones y densidad: es fácil ver que hay infinitos racionales entre dos racionales, pero que hay 'aún más' reales: cada secuencia binaria infinita, no solo el los finitos.

$^*$Para ser un poco más correctos respecto a respetar la distancia, necesitamos trabajar con una relación de equivalencia que identifique cualquier secuencia finita$\{a_i: i\leq m\}$con todas las secuencias 'terminadas en cero'$\{b_i: i\leq n\}$eso tiene$b_i=a_i$para$1\leq i\leq m$y$b_i=0$para$m\lt i\leq n$, así como el infinitamente largo terminado en cero$n\to infty$límite de los diversos$\mathbf{b}$s. Pero estos son detalles técnicos en mi humilde opinión, y para una comprensión básica me parece un poco mejor simplemente ignorarlos.