Demostrar o refutar una afirmación sobre números irracionales

Declaración:

Dejar$a,b,k\in\mathbb Z^{+}$, dónde$\gcd (a,b)=1$y si$4k+3=\frac{a^2}{b^2}$, entonces$b^2=1$o$b=1$.

Así tenemos,

$$\sqrt{4k+3}=a,\thinspace a\in\mathbb Z^{+}$$

y

$$k=\frac{a^2-4+1}{4}=\frac{a^2+1}{4}-1$$

Esto implica inmediatamente,

$$a=2m-1, \thinspace m\in\mathbb Z^{+}$$

Esto significa,

$$\begin{align}a^2+1&=4(m^2-m)+2\not\equiv 0\thinspace\thinspace\thinspace\text{(mod 4)}.&\end{align}$$

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Conclusión:

Concluimos que, no existe$n=4k+3,\thinspace k\in\mathbb Z^{+}$, tal que$\sqrt n\in\mathbb Q^{+}$.

El cuadrado de un entero par es$4k$, el cuadrado de un entero impar es$8k+1$.$4k+3$nunca es el cuadrado de un número entero, ni lo es$4k+2$ni$8k+5$. Entonces la raíz cuadrada de$n$no es un número entero.

Ahora necesitas recordar la conocida prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional; esa prueba se puede adaptar para mostrar que la raíz cuadrada de cualquier número entero es un número entero o irracional.

se da que$n=4k+3$, así que creo que quieres decir que existen$a,b\in\Bbb{Z}$tal que

$$\sqrt{n}=\sqrt{4k+3}=\tfrac ab,$$ con la esperanza de llegar a una contradicción. De hecho, algo de álgebra conduce a $$k=\frac{a^2-3b^2}{4b^2},$$ Lo que significa que$4b^2$debe dividir$a^2-3b^2$porque$k$es un número entero. En particular$4$debe dividir$a^2-3b^2$. Esto implica que$a$y$b$ambos son iguales [¡pruébalo!], di$a=2A$y$b=2B$. Enchufar esto luego da $$k=\frac{(2A)^2-3(2B)^2}{4(2B)^2}=\frac{4A^2-12B^2}{16B^2}=\frac{A^2-3B^2}{4B^2},$$ y así por el mismo argumento$A$y$B$son de nuevo los dos incluso. ¿Puedes ver la contradicción desde aquí?

Tenga en cuenta el si$q$es racional pero no integral entonces$q^2$tampoco será integral. Entonces solo necesitas probar que$n$no es una potencia de un entero.

Tenga en cuenta que si$m=2l$entonces$m^2=4l^2$, si$m=4l+1$entonces$m^2=16l^2+4l+1$y si$m=4l+3$entonces$m^2 = 16l^2+12l + 8 +1$. Así que para cualquier$m$tenemos eso$m^2$es cualquiera de la forma$4r$o de la forma$4r+1$.

En otras palabras: Módulo$4$tenemos$0^2=0,1^2=1,2^2=0,3^2=1$.

Así que cualquier número de la forma$4k+3$no es el cuadrado de un entero.

$\sqrt n=\sqrt{4k+3}$es una solución de la ecuación

$$x^2 -(4k+3)=0$$

Ahora por el teorema de los ceros racionales $\biggr($El cual establece que :$x=p/q$es un número racional que satisface la ecuación polinomial$\sum_{r=0}^n a_rx^r$entonces$q(\neq0)|a_n$y$p|a_0$y mcd(p,q)=1$\biggr)$, las únicas raíces racionales de la ecuación son$±1,±(4k+3),±n|(4k+3) \forall k\in \Bbb Z^+$dónde$n \in \Bbb Z^+$. Pero$\sqrt{4k+3}$no es ninguno de ellos. Entonces$\sqrt n=\sqrt{4k+3}$es irracional