Demostrar si el número es racional o irracional

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Demostrar si el número es racional o irracional

Matemáticas
numeros racionales
Numeros irracionales

Beats2019

Me han pedido que pruebe si $\frac{\sqrt{3+\sqrt5}}{\sqrt{2} + \sqrt {10}}$ es un número racional. Probé una prueba de la siguiente manera:
supongamos que el número es racional, por lo que se puede escribir como el cociente de 2 números $a$ y $b$

\begin{aligned} \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{a}{b} \\ \frac{3 + \sqrt{5}}{12 + 4 \sqrt{5}} = \frac{a^{2}}{b^{2}} \\ \frac{3 + \sqrt{5}}{4 (3 + \sqrt{5})} = \frac{a^{2}}{b^{2}} \\ \frac{1}{4} = \frac{a^{2}}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{a}{b} \\ \frac{3+\sqrt{5}}{12 + 4\sqrt{5}} = \frac{a^2}{b^2} \\ \frac{3+\sqrt{5}}{4(3+\sqrt{5})} = \frac{a^2}{b^2} \\ \frac{1}{4} = \frac{a^2}{b^2} \end{align*}$ y porque conseguimos

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ que es racional, podemos concluir que la prueba es correcta y que no hay contradicciones. Por eso

\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ es un número racional.

Supongo que a mi prueba le falta algo y no siento que esté completa todavía. Agradecería cualquier recomendación sobre cómo mejorar mi respuesta. Gracias de antemano.

Arturo

echaría un vistazo a

(\sqrt{2} + \sqrt{5})^{2}

$(\sqrt2+\sqrt5)^2$ de nuevo.

Theo Bendit

Tenga en cuenta que

{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ es racional, pero

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ no es. Necesitarías modificar tu lógica allí.

Troposfera

como conseguiste

(\sqrt{2} + \sqrt{5})^{2}

$(\sqrt2+\sqrt5)^2$ ser

12 + 4 \sqrt{5}

$12+4\sqrt 5$ ? yo obtengo

7 + 2 \sqrt{10}

$7+2\sqrt{10}$ .

barry cipra

Ayuda saber que

(1 + \sqrt{5})^{2} = 6 + 2 \sqrt{5}

$(1+\sqrt5)^2=6+2\sqrt5$ .

Beats2019

¡Sí! Estás bien. Lo siento por mi tonto error. Escribí el número incorrecto. He corregido el número.

Theo Bendit

@Beats2019 Eso es ciertamente una mejora, aunque como decía antes, no deberías concluir que el número es racional solo porque su cuadrado lo es. El hecho de que el cuadrado sea

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ , y el número es claramente positivo, implica que el resultado es

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , que es ciertamente racional. La sugerencia de Barry Cipra también se puede usar aquí para obtener el mismo resultado, simplificando

\sqrt{3 + \sqrt{5}}

$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ .

Beats2019

Ahora lo entiendo mejor. Gracias a todos por sus amables respuestas y consejos.

dxiv

@Beats2019 Su línea de prueba está bien, pero no hay razón para llevar

\frac{a}{b}

$\frac{a}{b}$ a lo largo de. Solo reemplázalo con

x

$x$ , entonces la última línea mostrará que

\frac{1}{4} = x^{2}

$\frac{1}{4}=x^2$ entonces

x = \frac{1}{2}

$x=\frac{1}{2}$ ya que se sabe que es positivo.

Respuestas (4)

Demostrar si el número es racional o irracional

Tenga en cuenta que $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ es racional, pero $\frac{1}{\sqrt{2}}$ no es. Necesitarías modificar tu lógica allí.
como conseguiste $(\sqrt2+\sqrt5)^2$ ser $12+4\sqrt 5$ ? yo obtengo $7+2\sqrt{10}$ .
¡Sí! Estás bien. Lo siento por mi tonto error. Escribí el número incorrecto. He corregido el número.
@Beats2019 Eso es ciertamente una mejora, aunque como decía antes, no deberías concluir que el número es racional solo porque su cuadrado lo es. El hecho de que el cuadrado sea $\frac{1}{4}$ , y el número es claramente positivo, implica que el resultado es $\frac{1}{2}$ , que es ciertamente racional. La sugerencia de Barry Cipra también se puede usar aquí para obtener el mismo resultado, simplificando $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ .
Ahora lo entiendo mejor. Gracias a todos por sus amables respuestas y consejos.
@Beats2019 Su línea de prueba está bien, pero no hay razón para llevar $\frac{a}{b}$ a lo largo de. Solo reemplázalo con $x$ , entonces la última línea mostrará que $\frac{1}{4}=x^2$ entonces $x=\frac{1}{2}$ ya que se sabe que es positivo.

NN2 · Answer 1

\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}}{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2 + 2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}

$\frac{\sqrt{3+\sqrt5}}{\sqrt{2} + \sqrt {10}} =\frac{\sqrt{6+2\sqrt5}}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt {10})} = \frac{\sqrt{5}+1}{2+2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$

¿Cómo se ve (o se le ocurre) que 1+sqrt(5)=sqrt(6+2sqrt(5)).
@lalala tenemos $6+2\sqrt{5} = 5+2\sqrt{5}+1=(\sqrt{5}+1)^2$

egreg · Answer 2

Considerar

X = \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}

$x=\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}+\sqrt{10}}$ Entonces sabes que

x > 0

$x>0$ . Entonces

X^{2} (\sqrt{2} + \sqrt{10})^{2} = 3 + \sqrt{5}

$x^2(\sqrt{2}+\sqrt{10})^2=3+\sqrt{5}$ eso se convierte

X^{2} (2 + 10 + 2 \sqrt{20}) = 3 + \sqrt{5}

$x^2(2+10+2\sqrt{20})=3+\sqrt{5}$ y por lo tanto, debido a

2 \sqrt{20} = 4 \sqrt{5}

$2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$ ,

4 X^{2} = 1

$4x^2=1$ entonces

x = 1 / 2

$x=1/2$ .

usuario2661923 · Answer 3

Enfoque alternativo:

En un problema como este, mi primer paso es despejar el denominador.

$\displaystyle \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{1}{8} \times \left[\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right] \times \left[\sqrt{10} - \sqrt{2}~\right].$

Por lo tanto, el problema se reduce a un examen de

\begin{matrix} (1) & [\sqrt{3 + \sqrt{5}}] \times [\sqrt{10} - \sqrt{2}] . \end{matrix}

$\left[\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right] \times \left[\sqrt{10} - \sqrt{2}~\right].\tag1$

Dado que ambos factores en (1) son positivos, el problema se reduce a determinar si existen números racionales positivos $a,b$ tal que $a^2 \times b^2$ es igual al cuadrado de la expresión en (1) arriba.

Esto se resuelve para determinar si existen enteros positivos. $c,d,e,f$ tal que

\frac{C^{2} {mi}^{2}}{d^{2} F^{2}} = [3 + \sqrt{5}] \times [12 - 2 \sqrt{20}] .

$\frac{c^2 e^2}{d^2 f^2} = \left[3 + \sqrt{5}\right] \times \left[12 - 2 \sqrt{20}\right].$

[3 + \sqrt{5}] \times [12 - 2 \sqrt{20}] = [3 + \sqrt{5}] \times [12 - 4 \sqrt{5}] = dieciséis.

$\left[3 + \sqrt{5}\right] \times \left[12 - 2 \sqrt{20}\right] = \left[3 + \sqrt{5}\right] \times \left[12 - 4 \sqrt{5}\right] = 16.$

Ángel · Answer 4

$\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}+\sqrt{10}}\!=\!\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{\dfrac12}+\sqrt{\dfrac52}\right)^2}}{2\left(\sqrt{\dfrac12}+\sqrt{\dfrac52}\right)}\!=\!\dfrac{\sqrt{\dfrac12}+\sqrt{\dfrac52}}{2\left(\sqrt{\dfrac12}+\sqrt{\dfrac52}\right)}\!=\!\dfrac12.$

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