Para cada número irracional bbb, ¿existe un número irracional aaa tal que ababa^b sea racional?

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Para cada número irracional bbb, ¿existe un número irracional aaa tal que ababa^b sea racional?

Matemáticas
teoría de los números
exponenciación
numeros racionales
Numeros irracionales

amor matematico

Es bien sabido que existen dos números irracionales $a$ y $b$ tal que $a^b$ es racional

Por cierto, me han interesado las siguientes dos proposiciones.

Proposición 1 : Para cada número irracional $a\gt 0$ , existe un número irracional $b$ tal que $a^b$ es racional

Proposición 2 : Para cada número irracional $b$ , existe un número irracional $a$ tal que $a^b$ es racional

Obtuve lo siguiente:

La proposición 1 es verdadera.

Supongamos que ambos $\frac{\ln 2}{\ln a}$ y $\frac{\ln 3}{\ln a}$ son racionales. Existe un conjunto de cuatro enteros distintos de cero $(m_1,m_2,n_1,n_2)$ tal que $\frac{\ln 2}{\ln a}=\frac{n_1}{m_1}$ y $\frac{\ln 3}{\ln a}=\frac{n_2}{m_2}$ . Ya que uno tiene $a=2^{m_1/n_1}=3^{m_2/n_2}$ , uno tiene $2^{m_1n_2}=3^{m_2n_1}$ . Esto es una contradicción. Se sigue que o bien $\frac{\ln 2}{\ln a}$ o $\frac{\ln 3}{\ln a}$ es irracional Por lo tanto, ya sea ajuste $b=\frac{\ln 2}{\ln a}$ o ajuste $b=\frac{\ln 3}{\ln a}$ obras.

Entonces, comencé a considerar si la proposición 2 es verdadera.

Para probar que la proposición 2 es verdadera, es suficiente mostrar que para cada número irracional $b$ , existe un número racional $c$ tal que $c^{1/b}$ es irracional

Esto parece cierto, pero no he podido probarlo. Entonces, mi pregunta es la siguiente:

Pregunta : ¿Es verdadera la proposición 2? En caso afirmativo , ¿cómo podemos demostrarlo? Si no , ¿qué es un contraejemplo?

Proposición 2 : Para cada número irracional $b$ , existe un número irracional $a$ tal que $a^b$ es racional

Leonhardt von M.

Creo que no es demasiado difícil probar la siguiente afirmación. Si

b > 0

$b>0$ irracional entonces existe un

a > 0

$a>0$ irracional tal que

a^{b}

$a^b$ o

a^{1 / b}

$a^{1/b}$ es racional

amor matematico

@LeonhardtvonM: Gracias por su interesante comentario. Desafortunadamente, es difícil al menos para mí. ¿Puedes elaborar?

Leonhardt von M.

Tienes razón, eso es más difícil de lo que esperaba.

tonyk

"Podemos suponer

a > 0

$a > 0$ ": No, tiene que hacer de eso una condición en su enunciado de la Proposición 1. Si

a < 0

$a < 0$ y

b

$b$ es irracional entonces

a^{b}

$a^b$ es indefinido. (Pero la Proposición 2 está bien).

amor matematico

@TonyK: Ya veo. Gracias por señalarlo.

Respuestas (1)

Para cada número irracional bbb, ¿existe un número irracional aaa tal que ababa^b sea racional?

Creo que no es demasiado difícil probar la siguiente afirmación. Si $b>0$ irracional entonces existe un $a>0$ irracional tal que $a^b$ o $a^{1/b}$ es racional
@LeonhardtvonM: Gracias por su interesante comentario. Desafortunadamente, es difícil al menos para mí. ¿Puedes elaborar?
"Podemos suponer $a > 0$ ": No, tiene que hacer de eso una condición en su enunciado de la Proposición 1. Si $a < 0$ y $b$ es irracional entonces $a^b$ es indefinido. (Pero la Proposición 2 está bien).

Elaqqad · Answer 1

Lo que quieres probar es: dado un número irracional $b$ , luego uno de los siguientes números :

r^{\frac{1}{b}} r \in q

$r^{\frac{1}{b}}\ \ \ \ \ \ r\in \Bbb Q$ es irracional, este parece ser un resultado alcanzable por lo que sabemos hoy en día sobre la trascendencia de los números, tenemos por ejemplo el siguiente teorema:

Teorema de las Seis Exponenciales : Sea $(x_1,x_2)$ y $(y_1,y_2,y_3)$ ser dos conjuntos de números complejos linealmente independientes sobre los racionales. Entonces al menos uno de
${mi}^{X_{1} y_{1}}, {mi}^{X_{1} y_{2}}, {mi}^{X_{1} y_{3}}, {mi}^{X_{2} y_{1}}, {mi}^{X_{2} y_{2}}, {mi}^{X_{2} y_{3}}$ $e^{x_1y_1},e^{x_1y_2},e^{x_1y_3},e^{x_2y_1},e^{x_2y_2},e^{x_2y_3}$ es trascendental.

Dado un número irracional $x$ , dejar $x_1=1,x_2=x$ y $y_1=\ln(p_1),y_2=\ln(p_2),y_3=\ln(p_3)$ para algunos números primos $p_1,p_2,p_3$ por lo tanto, usando este teorema tenemos: al menos uno de:

{pag}_{1}, {pag}_{2}, {pag}_{3}, {pag}_{1}^{X}, {pag}_{2}^{X}, {pag}_{3}^{X}

$p_1,p_2,p_3,p_1^x,p_2^x,p_3^x$ es irracional lo que nos da la siguiente consecuencia bien conocida:

Teorema de los seis exponenciales (caso especial). Si $x$ es un número real tal que $p_1^x$ , $p_2^x$ y $p_3^x$ son números racionales para tres primos distintos $p_1, p_2$ y $p_3$ , entonces $x\in \Bbb Z$

Si usamos este teorema uno $k^{\frac{1}{b}}$ de los numeros $2^{\frac{1}{b}},3^{\frac{1}{b}},5^{\frac{1}{b}}$ es irracional y por lo tanto puedes tomar $a=k^{\frac{1}{b}}$ y tenemos $a^b$ es un entero entre $\{2,3,5\}$ lo que implica, por supuesto, que es racional.

Comentario Tal vez haya una respuesta más simple que no use este teorema fuerte.

Muchas gracias por esta respuesta. Tengo algunas preguntas. (1) En el teorema, escribiste $p_1^x \color{red}{1},p_2^x$ . El $\color{red}{1}$ es un error tipográfico, ¿no? (2) Escribiste "enteros racionales" en el teorema. ¿No son "números racionales"? (3) Obtuve dos enlaces del teorema. wiki y mundo matemático . Pero no puedo conseguir su caso especial. ¿Puedes dar más detalles sobre cómo obtener el caso especial?
Gracias por las correcciones, agregué información adicional en mi respuesta y expliqué cómo obtener el caso especial del enlace de mathword. No pensé en una respuesta más simple, ¡así que tal vez haya una! es muy probable. No puedo usar los métodos usados para el teorema de los seis exponentes porque involucra muchas cosas que no supero y no entiendo bien.
Ah, entiendo cómo obtener el caso especial. Estoy muy contento de conocer el teorema, aunque me parece difícil entender el teorema en sí :) De todos modos, ¡muchas gracias!

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Leonhardt von M.

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Leonhardt von M.

tonyk

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Elaqqad

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Elaqqad

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