¿La longitud del arco es siempre irracional entre dos puntos racionales?

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¿La longitud del arco es siempre irracional entre dos puntos racionales?

Pi
cálculo
longitud de arco
Matemáticas
Numeros irracionales

caelan miron

Recientemente me preguntaba: ¿Por qué pi tiene un valor irracional ya que es simplemente la relación entre el diámetro y la circunferencia de un círculo? Como el valor del diámetro es racional, la irracionalidad debe provenir de la circunferencia.

Luego usé cálculo para calcular la longitud del arco de varias funciones con gráficos curvos (entre dos puntos racionales) y encontré que la longitud del arco dos era irracional nuevamente.

¿Todos los caminos curvos tienen longitudes irracionales?

Mi lógica es que al calcular la longitud del arco (cálculo) asumimos que el arco está compuesto de segmentos de línea infinitamente pequeños y nunca estamos cerca del valor real y, a diferencia del área bajo una curva, no existe un límite superior e inferior que converge al mismo valor.

En caso afirmativo, ¿son estas las razones por las que existen valores irracionales en primer lugar?

Jaime

"Como el valor del diámetro es racional, entonces la irracionalidad debe provenir de la circunferencia". No, podrías decir fácilmente que tu circunferencia es racional. Entonces tu diámetro sería necesariamente irracional. O su diámetro y circunferencia podrían AMBOS ser irracionales.

Barmar

Su título pregunta sobre todas las longitudes de arco, pero el texto de la pregunta pregunta sobre todas las trayectorias curvas. No son lo mismo en absoluto.

Barmar

Tal vez lo que quisiste preguntar es "¿La relación entre la longitud secante y la longitud del arco siempre es irracional?"

Tom Zych

Además, considere que si los valores irracionales existieran solo debido a las curvas, eso implicaría que ningún segmento de línea recta podría tener una longitud irracional, pero por supuesto es fácil pensar en segmentos que la tengan, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado unitario.

jose dh

Parece estar equivocado con respecto a la definición de longitud de arco. Uno típicamente define

L (γ) = \int_{a}^{b} | γ^{'} (t) | d t

$L(\gamma)=\int_a^b |\gamma'(t)|dt$ . Si se considera la función

f : I \to R

$f:I \to \mathbb{R}$ ,

f : t \mapsto | γ^{'} (t) |

$f:t \mapsto |\gamma ' (t)|$ , luego vemos que la longitud del arco es el área bajo esta curva y la integral se puede calcular utilizando las sumas superior/inferior de Riemann/Darboux (o mediante argumentos teóricos de medida). Geométricamente, estas sumas están tomando una aproximación lineal cada vez más fina a la curva, con las sumas superior e inferior correspondientes a las tangentes y secantes de la curva.

R.. GitHub DEJAR DE AYUDAR A ICE

El concepto de "arco" del OP es demasiado general para que esto tenga alguna esperanza de ser cierto, pero la pregunta es quizás más interesante bajo una mejor restricción de lo que significa "arco".

Respuestas (6)

¿La longitud del arco es siempre irracional entre dos puntos racionales?

"Como el valor del diámetro es racional, entonces la irracionalidad debe provenir de la circunferencia". No, podrías decir fácilmente que tu circunferencia es racional. Entonces tu diámetro sería necesariamente irracional. O su diámetro y circunferencia podrían AMBOS ser irracionales.
Su título pregunta sobre todas las longitudes de arco, pero el texto de la pregunta pregunta sobre todas las trayectorias curvas. No son lo mismo en absoluto.
Tal vez lo que quisiste preguntar es "¿La relación entre la longitud secante y la longitud del arco siempre es irracional?"
Además, considere que si los valores irracionales existieran solo debido a las curvas, eso implicaría que ningún segmento de línea recta podría tener una longitud irracional, pero por supuesto es fácil pensar en segmentos que la tengan, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado unitario.
Parece estar equivocado con respecto a la definición de longitud de arco. Uno típicamente define $L(\gamma)=\int_a^b |\gamma'(t)|dt$ . Si se considera la función $f:I \to \mathbb{R}$ , $f:t \mapsto |\gamma ' (t)|$ , luego vemos que la longitud del arco es el área bajo esta curva y la integral se puede calcular utilizando las sumas superior/inferior de Riemann/Darboux (o mediante argumentos teóricos de medida). Geométricamente, estas sumas están tomando una aproximación lineal cada vez más fina a la curva, con las sumas superior e inferior correspondientes a las tangentes y secantes de la curva.
El concepto de "arco" del OP es demasiado general para que esto tenga alguna esperanza de ser cierto, pero la pregunta es quizás más interesante bajo una mejor restricción de lo que significa "arco".

tonyk · Answer 1

Obviamente, una línea recta entre dos puntos racionales puede tener una longitud racional $-$ sólo toma $(0,0)$ y $(1,0)$ como sus puntos racionales.

Pero una línea curva también puede tener una longitud racional. Considere parábolas de la forma $y=\lambda x(1-x)$ , que pasan todos por los puntos racionales $(0,0)$ y $(1,0)$ . Si $\lambda=0$ , entonces obtenemos una línea recta, con longitud de arco $1$ . Y si $\lambda=4$ , entonces la curva pasa por $(\frac12,1)$ , por lo que la longitud del arco es mayor que $2$ .

Ahora deja $\lambda$ variar suavemente de $0$ a $4$ . La longitud del arco también varía suavemente, desde $1$ a un valor mayor que $2$ ; por lo que para algún valor de $\lambda$ , la longitud del arco debe ser $2$ , que es un número racional.

Pero, ¿cómo sabemos que el valor de $\lambda$ ¿No es en sí mismo irracional?. Como puede haber infinitos números irracionales entre dos números racionales.
@RupanshuYadav: No dije eso $\lambda$ tenía que ser racional.
Me gusta esta respuesta ya que implícitamente muestra algo mucho más fuerte. Como $\lambda$ varía, tomará infinitos valores donde la longitud es racional e infinitos valores donde la longitud es irracional. Además, no hay nada en este argumento que realmente dependa de que los puntos tengan coordenadas racionales. Entre dos puntos cualesquiera habrá infinitas curvas de longitud racional e infinitas curvas de longitud irracional.
¿Cómo sabes que la longitud del arco también varía suavemente? ¿Y que la longitud del arco debe ser 2 en alguna parte? Lo primero requiere al menos continuidad. Este último a partir del teorema del valor intermedio y de la recta real.
@qwr: si lo desea, puede tomar la fórmula para la longitud del arco usted mismo y aplicarla a este caso. Encontrarás que para todos $\varepsilon>0$ , existe $\delta>0$ tal que si $1\le\lambda_1<\lambda_2\le 4$ , y $\lambda_2-\lambda_1<\delta$ , entonces las longitudes de arco de las dos curvas $y=\lambda_1 x(1-x)$ y $y=\lambda_2 x(1-x)$ difieren en menos de $\varepsilon$ . Por lo tanto, la longitud del arco varía suavemente y $-$ como usted dice $-$ el teorema del valor intermedio hace el resto.
@TonnyK, ¿cómo sabes que el punto en el que la longitud del arco es racional no es un número irracional?

Óscar Lanzí · Answer 2

Un ejemplo de una curva con longitudes de arco racionales entre al menos algunos pares de puntos racionales es una cardioide .

A escala y rotación, un cardioide puede representarse en coordenadas polares mediante la ecuación

r = 1 - porque θ

$r=1-\cos\theta$

con diferencial de longitud de arco

d s = (\sqrt{r^{2} + (d r / d θ)^{2}}) d θ = \sqrt{2 - 2 porque θ} d θ = 2 pecado (θ / 2) d θ

$ds=\left(\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\right)d\theta=\sqrt{2-2\cos\theta}~d\theta=2\sin(\theta/2)d\theta$

Integrando esto de $\theta=0$ a un valor arbitrario de $\theta$ da la función de longitud de arco

s = 4 (1 - porque (θ / 2))

$s=4(1-\cos(\theta/2))$

Por lo tanto, la longitud del arco desde el origen hasta $(-2,0)$ ( $\theta=\pi$ ) es $4$ . Además, supongamos que seleccionamos $\theta=2\cos^{-1}(a/c)$ dónde $a^2+b^2=c^2$ es una terna pitagórica. Entonces nosotros tenemos

porque θ = 2 (a^{2} / C^{2}) - 1

$\cos\theta=2(a^2/c^2)-1$

pecado θ = 2 (b / C) (a / C) = 2 a b / C^{2}

$\sin\theta=2(b/c)(a/c)=2ab/c^2$

Claramente dando valores racionales para las coordenadas cartesianas $x=(1-\cos\theta)\cos\theta$ y $y=(1-\cos\theta)\sin\theta$ . La longitud del arco desde el origen es entonces la cantidad racional

s = 4 (1 - porque (θ / 2)) = 4 (1 - a / C)

$s=4(1-\cos(\theta/2))=4(1-a/c)$

5xum · Answer 3

Entonces, mi pregunta es si todos los caminos curvos tienen longitudes irracionales.

Por supuesto que no. Un círculo con radio $\frac{1}{2\pi}$ es un camino curvo y tiene longitud $1$ que es un número racional. Si pones el centro del círculo en $(-\frac1{2\pi}, 0)$ , entonces $(0,0)$ , un punto "racional", está en el círculo, y el círculo puede verse como un camino desde $(0,0)$ a $(0,0)$ .

@TonyK Es más como mostrar que es importante hacer preguntas específicas bien definidas...
Si consideras el semicírculo no está definido entre dos puntos racionales.
@RupanshuYadav Claro. Pero no estoy considerando el semicírculo. Estoy considerando el círculo. ¿Eso de alguna manera no está permitido?

Michael Seifert · Answer 4

Considere los dos puntos $(-\frac12,0)$ y $(\frac12,0)$ . Para cualquier valor real de $y_0$ , podemos trazar un arco circular entre estos dos puntos que está centrado en $(0,y_0)$ y que se encuentra completamente en el semiplano superior. Como $y \to - \infty$ , la longitud de este arco se acerca a 1 (ya que el arco se acerca a una línea recta); como $y \to +\infty$ , la longitud del arco se aproxima $\infty$ . Dado que la longitud del arco varía continuamente con $y_0$ , debe darse el caso de que la longitud del arco pueda ser cualquier número real mayor que 1, incluyendo todas las longitudes racionales mayores que 1.

usuario65203 · Answer 5

No.

Tome cualquier curva suave entre dos puntos racionales y deforme para cambiar su longitud en una cantidad finita. Durante la deformación, cruzarás infinitas longitudes racionales.

Un ejemplo simple es un polinomio que tiene dos raíces racionales multiplicadas por un factor variable.

Ahora considere la curva de ecuaciones paramétricas

{\begin{cases} X = \frac{t^{3}}{3} - t, \\ y = t^{2} \end{cases}

$\begin{cases}x=\dfrac{t^3}3-t,\\y=t^2\end{cases}$

(una cúbica de Tschirnhausen modificada).

Tenemos

s = \int_{a}^{b} \sqrt{(t^{2} - 1)^{2} + 4 t^{2}} d t = \int_{a}^{b} (t^{2} + 1) d t = \frac{b^{3} - a^{3}}{3} + b - a,

$s=\int_a^b\sqrt{(t^2-1)^2+4t^2}\,dt=\int_a^b(t^2+1)\,dt=\frac{b^3-a^3}3+b-a,$

de modo que la longitud entre dos racionales $t$ (dar extremos racionales) es siempre racional.

Vasilis Markos · Answer 6

Contribuyendo con otro simple contraejemplo, dejemos $f(x)=-\cos x$ con $x\in[0,\pi]$ . Entonces, la longitud de $f$ entre $A(0,-1)$ y $B(\pi,1)$ es dado por:

ℓ (F) = \int_{0}^{π} | F^{'} (t) | d t = \int_{0}^{π} pecado t d t = [- porque t]_{0}^{π} = 2.

$\ell(f)=\int_0^\pi|f'(t)|dt=\int_0^\pi\sin tdt=[-\cos t]_0^\pi=2.$ Tenga en cuenta, también, que la relación entre la curva y el "diámetro" de la misma,

A B

$AB$ es:

\frac{ℓ (F)}{(A B)} = \frac{2}{\sqrt{π^{2} + 2}},

$\frac{\ell(f)}{(AB)}=\frac{2}{\sqrt{\pi^2+2}},$ lo cual es, de nuevo, irracional.

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