Suma de cuña infinita de círculos y un equivalente de homotopía espacial

Tu idea es correcta. Cada elemento de$\pi_1(G)$puede escribirse como una palabra$r_{i_1}^{n_1} r_{i_2}^{n_2} \cdots r_{i_k}^{n_k}$dónde$r_1, \cdots, r_n$son los generadores de$\pi_1(G)$correspondiente al bucle que da la vuelta al$i$-th círculo exactamente una vez, para$i = 1, 2, \cdots, n$(Tenga en cuenta que puede haber múltiples apariciones de un solo$r_k$en la palabra, por ejemplo:$r_1r_2r_1^{-1}r_2^{-1}$es una palabra válida; la cuestión es$\pi_1(G)$no es conmutativo) Esta es una asignación bien definida, y la palabra tiene una longitud finita ya que, como dijiste, la imagen de un ciclo debe ser compacta. Esto a su vez te da un homomorfismo.$\pi_1(G) \to F(r_1, r_2, \cdots, r_n)$que se puede comprobar es de hecho un isomorfismo.

En cuanto a por qué$G$es homotópicamente equivalente a$\bigvee_{\Bbb N} S^1$, Considere el mapa$G \to \bigvee_{\Bbb N} S^1$que cocientes de un barrio$U$del punto malo. Esto es continuo, como se puede comprobar fácilmente. Creo$U$tiene un vecindario de cilindro de mapeo en$G$, lo que implicaría$(G, U)$tiene la propiedad de extensión de la homotopía. Como$U$es contraible, esto significa$G \to G/U$es una equivalencia de homotopía, como se desea (una homotopía inversa explícita debe ser$\bigvee_\Bbb N S^1 \to G$dado por el envío de círculos a los círculos).