Clases de homotopía de mapas a partir de una cuña de círculos

Question

Clases de homotopía de mapas a partir de una cuña de círculos

Matemáticas
teoría de la homotopía
Topología algebraica
grupos-fundamentales

Vuppulury Chetan

Dejar $W_n$ ser la cuña en $n$ círculo, es decir,

W_{norte} = ⋁_{k = 1}^{norte} S^{1}

$W_n=\bigvee_{k=1}^nS^1$ Dejar

X

$X$ sea un espacio conectado por caminos, entonces, ¿cómo calculo las clases de homotopía de mas a partir de

W_{n}

$W_n$ a

X

$X$ ? Los mapas basados son fáciles ya que la cuña es el coproducto en la categoría de espacios puntiagudos, por lo tanto

{h T o pag}_{*} [⋁_{k = 1}^{norte} S^{1}, X] = \prod_{k = 1}^{norte} {h T o pag}_{*} [S^{1}, X] = \prod_{k = 1}^{norte} π_{1} (X)

$\mathrm{hTop}_*\left[\bigvee_{k=1}^nS^1,X\right]=\prod_{k=1}^n\mathrm{hTop}_*\left[S^1,X\right]=\prod_{k=1}^n\pi_1\left(X\right)$ ¿Algo similar es cierto para los mapas no puntiagudos?

pancini

Pero

W_{n}

$W_n$ y

X

$X$ ambos están conectados por rutas, por lo que puede suponer que los mapas están basados.

Vuppulury Chetan

No, no puedes. Por ejemplo, la homotopía clasifica los mapas no puntiagudos de

S^{1}

$S^1$ a

X

$X$ no es

π_{1} (X)

$\pi_1\left(X\right)$ pero el conjunto de clases de conjugación? En general, están relacionados por un cociente por el grupo fundamental del codominio, pero no pude calcular la acción. Así que estoy pidiendo un método más simple para este caso.

pancini

Veo; mi error.

Respuestas (1)

Clases de homotopía de mapas a partir de una cuña de círculos

Pero $W_n$ y $X$ ambos están conectados por rutas, por lo que puede suponer que los mapas están basados.
No, no puedes. Por ejemplo, la homotopía clasifica los mapas no puntiagudos de $S^1$ a $X$ no es $\pi_1\left(X\right)$ pero el conjunto de clases de conjugación? En general, están relacionados por un cociente por el grupo fundamental del codominio, pero no pude calcular la acción. Así que estoy pidiendo un método más simple para este caso.

revisando los anexos · Answer 1

Cuando $X, Y$ son conexos por caminos, el conjunto $[X, Y]$ de clases de homotopía de mapas se relaciona con el conjunto $\langle X, Y \rangle$ de homotopía puntiaguda clases de mapas puntiagudos por

[X, Y] = ⟨ X, Y ⟩ / π_{1} (Y),

$[X, Y] = \langle X, Y\rangle /\pi_1(Y),$ donde la acción de

π_{1} (Y)

$\pi_1(Y)$ se da encontrando un mapa

γ \cdot f : X \to Y

$\gamma \cdot f: X \to Y$ con una homotopía no basada

F_{t} : f \to γ \cdot f

$F_t: f \to \gamma \cdot f$ (eso es,

F_{0} = f

$F_0 = f$ y

F_{1} = γ \cdot f

$F_1 = \gamma \cdot f$ ) de modo que

F_{t} (x_{0}) = γ (t)

$F_t(x_0) = \gamma(t)$ . Ver nacedora 4A.1.

En tu caso ya lo sabes $\langle W_n, Y\rangle = \pi_1(Y)^n$ . la acción de $\pi_1(Y)$ sobre este conjunto está la acción diagonal donde tenemos la acción de conjugación en cada componente; entonces $[W_n, Y]$ es el conjunto de ordenados $n$ -tuplas $(\gamma_1, \cdots, \gamma_n)$ considerado hasta la conjugación --- entonces

(γ_{1}, \dots, γ_{norte}) \sim (η γ_{1} η^{- 1}, \dots, η γ_{norte} η^{- 1}) .

$(\gamma_1, \cdots, \gamma_n) \sim (\eta \gamma_1 \eta^{-1}, \cdots, \eta \gamma_n \eta^{-1}).$

Clases de homotopía de mapas a partir de una cuña de círculos

Vuppulury Chetan

pancini

Vuppulury Chetan

pancini

Respuestas (1)

revisando los anexos

Suma de cuña infinita de círculos y un equivalente de homotopía espacial

Si fff es un camino cerrado en S1S1S^1 en 111, entonces grado(fm)=mgrado(f)grado⁡(fm)=mgrado⁡(f)\grado (f^m) = m \grado(f)

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