Si fff es un camino cerrado en S1S1S^1 en 111, entonces grado(fm)=mgrado(f)grado⁡(fm)=mgrado⁡(f)\grado (f^m) = m \grado(f)

Question

Si fff es un camino cerrado en S1S1S^1 en 111, entonces grado(fm)=mgrado(f)grado⁡(fm)=mgrado⁡(f)\grado (f^m) = m \grado(f)

Matemáticas
prueba-explicación
Topología algebraica
grupos-fundamentales

Verónica R.M.

Si $f$ es un camino cerrado en $S^1$ en $1$ y si $m \in \Bbb Z$ , entonces $\deg (f^m) = m \deg (f)$

La demostración es la respuesta a la pregunta Pregunta sobre caminos cerrados en el grupo fundamental de una circunferencia

Lo reescribo y también tengo una pregunta de por qué. $\deg(f^m)=m\theta(1)=m\deg(f)$ .

Prueba.

Considere el siguiente diagrama conmutativo

\begin{array}{ccccccccc} (R, {0, 1}) \\ ↑ θ & ↘ Exp \\ (I, {0, 1}) & \overset{F}{\to} & (S^{1}, 1) \end{array}

$\begin{array}{ccccccccc} (\mathbb R,\{0,1\}) & \\ \uparrow{\theta} & \searrow{\exp} & \\ (I,\{0,1\}) & \xrightarrow{f} & (S^1,1) & \end{array}$

Tenemos $\exp\circ\theta=f$

y $\exp\circ\theta^m=f^m$

y $\deg (f^m)=\deg(e^{2m\pi i\theta})=m\theta(1)=m\deg(f)$

¿Alguien puede explicar por qué? $\deg(e^{2m\pi i\theta})=m\theta(1)$ ?

Gracias.

Mate

Me está costando entender algo de su notación. que es este mapa

θ : (I, {0, 1}) \to (R, {0, 1})

$\theta: (I,\{0,1\}) \rightarrow (\mathbb{R},\{0,1\})$ ? ¿Es definitivamente un mapa que está enviando

{0, 1} \subseteq I

$\{0,1\} \subseteq I$ a

{0, 1} \subseteq R

$\{0,1\} \subseteq \mathbb{R}$ ? Hace

θ^{m}

$\theta^m$ significar

m θ

$m \theta$ ?

Verónica R.M.

@ Matt Para calcular la elevación de

f

$f$ ,

f

$f$ debe definirse como

f : (I, I^{\circ}) \to (S^{1}, 1)

$f:(I,I^\circ)\to(S^1,1)$ (por definición). Como

I^{\circ} = {0, 1}

$I^\circ=\{0,1\}$ , Escribí

f : (I, {0, 1}) \to (S^{1}, 1)

$f:(I,\{0,1\})\to(S^1,1)$ y

θ : (I, {0, 1}) \to (R, {0, 1}) .

$\theta:(I,\{0,1\})\to(\mathbb R,\{0,1\}).$ No estaba seguro sobre el codominio

(R, {0, 1})

$(\mathbb R,\{0,1\})$ , podría ser

{0}

$\{0\}$ o

{1}

$\{1\}$ así que escribí los dos

{0, 1}

$\{0,1\}$ .

Verónica R.M.

Se supone que debe elegir solo uno (0 o 1) y luego enviarlo bajo

θ

$\theta$ .Incluso aunque escribas ambos

{0, 1} \mapsto {0, 1}

$\{0,1\}\mapsto\{0,1\}$ bajo

θ

$\theta$

Verónica R.M.

Y no,

θ^{m} \neq m θ

$\theta^m\neq m\theta$

Respuestas (1)

Si fff es un camino cerrado en S1S1S^1 en 111, entonces grado(fm)=mgrado(f)grado⁡(fm)=mgrado⁡(f)\grado (f^m) = m \grado(f)

Me está costando entender algo de su notación. que es este mapa $\theta: (I,\{0,1\}) \rightarrow (\mathbb{R},\{0,1\})$ ? ¿Es definitivamente un mapa que está enviando $\{0,1\} \subseteq I$ a $\{0,1\} \subseteq \mathbb{R}$ ? Hace $\theta^m$ significar $m \theta$ ?
@ Matt Para calcular la elevación de $f$ , $f$ debe definirse como $f:(I,I^\circ)\to(S^1,1)$ (por definición). Como $I^\circ=\{0,1\}$ , Escribí $f:(I,\{0,1\})\to(S^1,1)$ y $\theta:(I,\{0,1\})\to(\mathbb R,\{0,1\}).$ No estaba seguro sobre el codominio $(\mathbb R,\{0,1\})$ , podría ser $\{0\}$ o $\{1\}$ así que escribí los dos $\{0,1\}$ .
Se supone que debe elegir solo uno (0 o 1) y luego enviarlo bajo $\theta$ .Incluso aunque escribas ambos $\{0,1\}\mapsto\{0,1\}$ bajo $\theta$

Pablo escarcha · Answer 1

Escribiendo $\theta : (I,\{0,1\}) \to (\mathbb R,\{0,1\})$ no es correcto porque sugiere $\theta(\{0,1\}) \subset \{0,1\}$ . De hecho, $\theta$ es el único ascensor de $f$ (elevación significa $\exp \circ \theta = f$ ) tal que $\theta(0) = 0$ . Desde $e^{2\pi i \theta(1)} = exp(\theta(1)) = f(1) = 1$ , vemos eso $\theta(1) \in \mathbb Z$ . El número $\theta(1)$ es el grado de $f$ .

Tenemos $f^m(z) = (f(z))^m$ . ¿Cuál es el ascensor de este mapa? Es $m\theta$ que se define como $(m\theta)(t) = m \cdot \theta(t)$ . de hecho tenemos $(m\theta)(0) = 0$ y

mi X pag ((metro θ) (t)) = mi X pag (metro θ (t)) = {mi}^{2 π i metro θ (t)} = {mi}^{metro \cdot 2 π i θ (t)} = ({mi}^{2 π i θ (t)})^{metro} = mi X pag (θ (t))^{metro} = F^{metro} (t) .

$exp((m\theta)(t)) = exp(m\theta(t)) = e^{2 \pi i m \theta(t)} = e^{m \cdot 2 \pi i \theta(t)} = (e^{2 \pi i \theta(t)})^m = exp(\theta(t))^m = f^m(t) .$ Esta espectáculos

\deg (f^{m}) = (m θ) (1) = m θ (1) = m \deg (f)

$\deg (f^m) = (m\theta)(1) = m \theta(1) = m\deg(f)$ .

Si fff es un camino cerrado en S1S1S^1 en 111, entonces grado(fm)=mgrado(f)grado⁡(fm)=mgrado⁡(f)\grado (f^m) = m \grado(f)

Verónica R.M.

Mate

Verónica R.M.

Verónica R.M.

Verónica R.M.

Respuestas (1)

Pablo escarcha

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