El teorema de Gordon-Luecke establece que si dos nudos (dóciles) tienen complementos homeomorfos en , entonces son equivalentes (hasta isotopía y reflexiones).
No es el caso, sin embargo, que nudos distintos tengan complementos en con distintos grupos fundamentales. El contraejemplo estándar es que el nudo cuadrado y el nudo granny tienen el mismo grupo de nudos. (Aunque los nudos principales se distinguen por grupos de nudos).
Mi pregunta está en el medio: si dos nudos domesticados tienen complementos de nudo homotópicos equivalentes (pero no homeomorfos), ¿deben ser el mismo nudo hasta la isotopía y la reflexión?
¿Hay algún resultado en esta dirección?
Un complemento de nudo es un espacio de Eilenberg-MacLane ( ver aquí , por ejemplo), por lo que su tipo de homotopía está determinado por el grupo de nudos. Por lo tanto, su (y cada) contraejemplo para el grupo de nudos también es un contraejemplo para el tipo de homotopía.
Los complementos de nudos son asféricos ( Papakyriakopoulos ), por lo tanto, son homotópicos equivalentes si y solo si tienen grupos fundamentales isomórficos. La noción correcta es una homotopía-equivalencia relativa