Suma de cuña de un conjunto vacío de espacios

Tienes razón, la suma de la cuña vacía es el objeto inicial de los espacios puntiagudos. La fórmula que sugirió para la suma de cuña es correcta para conjuntos de índices no vacíos*. La fórmula que siempre funciona es

$$\bigvee_{i \in I} (X_i,p_i) = \left(\coprod_{i \in I} X_i \sqcup\{p\} ~/~ (p_i \sim p),p\right).$$ Hay una explicación más conceptual para esto: considere el funtor olvidadizo$\mathbf{Top}_* \to \mathbf{Top}$. Es monádica, la mónada manda un espacio$X$a$X \sqcup \{\star\}$, la unidad es el mapa evidente$X \hookrightarrow X \sqcup \{\star\}$, y la multiplicación es el mapa evidente$X \sqcup \{\star\} \sqcup \{\star\} \to X \sqcup \{\star\}$. Hay un procedimiento general de cómo producir colimits en$\mathrm{Alg}(T)$para una mónada de "buen comportamiento"$T$(por ejemplo, debería conservar los coecualizadores reflexivos, que es el caso aquí) en una categoría cocompleta$\mathcal{C}$: Dado un diagrama de$T$-álgebras, tomar el colímite de los objetos subyacentes en$\mathcal{C}$, luego aplica$T$para obtener el gratis$T$-álgebra, y finalmente cociente las relaciones que aseguran que las inclusiones se conviertan en$T$-Mapas de álgebra. Observe que esto es exactamente lo que sucedió en la fórmula anterior: Para obtener el coproducto de los espacios puntiagudos$(X_i,p_i)$, primero formamos el coproducto$\coprod_{i \in I} X_i$de los espacios subyacentes, colindan libremente con un punto base$p$para obtener el espacio puntiagudo libre en él, y finalmente identificar cada$p_i$con$p$para asegurarse de que las inclusiones de$X_i$convertirse en mapas puntiagudos.

*También es correcto para el conjunto vacío con la definición correcta de$X/A$como el empuje de$\{\star\} \leftarrow A \hookrightarrow X$como lo observa Prudii Arca.

En cualquier categoría, el coproducto sobre un conjunto de indexación vacío es el objeto inicial (suponiendo que existan cosas), por lo que tiene razón en que en$\mathsf{Top}_\ast$tenemos

$$\bigvee \limits_{i\in\emptyset} (X_i, x_i) = (\{*\},*)$$

Tu identidad poco intuitiva no tiene sentido para mí, ya que$\emptyset$está deshabitado / vacío, por lo que no puede considerarse como un espacio topológico puntiagudo. Pero de todos modos tienes razón en la suposición de que

$$\emptyset/\emptyset=*$$ es una convención común, generalmente vista en el contexto de la comparación de teorías de (co)homología reducidas y no reducidas...