¿Cuál es la definición de espacio contráctil? (No es un duplicado)

Estoy estudiando dos textos de topología algebraica (a saber, Munkres y Theodore)

Aquí están las definiciones dadas en esos textos.

Munkres

Dejar X Sea un espacio topológico.

Si el mapa de identidad en X es homotópico nulo, entonces X es contraible.

.

teodoro

Dejar X Sea un espacio topológico y X 0 ∈ X .

Si hay un mapa continuo F : X × [ 0 , 1 ] → X tal que F ( X , 0 ) = X y F ( X , 1 ) = X 0 ( X ∈ X ) y F ( X 0 , t ) = X 0 ( t ∈ [ 0 , 1 ] ), entonces X es contraible.

Puedes ver que la definición de Theodore es más fuerte que la de Munkres, ya que F en la definición de Theodore es una homotopía relativa a { X 0 }

¿Cuál es la definición estándar para un espacio contráctil?

¿Y es un espacio contráctil simplemente conectado bajo la definición de Munkre?

Vi publicaciones aquí que decían que "el espacio contratable está simplemente conectado".

Sin embargo, con la definición de Munkres, solo puedo mostrar que dos caminos son homotópicos , no homotópicos de caminos . ¿Cómo demuestro que son homotópicas?

¡De hecho, es un buen ejercicio probar que ambas nociones son equivalentes! :) Un mapa es homotópico a un mapa constante si es homotópico a un mapa constante con respecto a un punto. (Por supuesto, solo funciona con constante) Entonces, realmente no hay una "definición estándar" entre los dos, porque son lo mismo.
@NajibIdrissi Eso suena increíble. ¿Podría mostrarme cómo probar la equivalencia?
Realmente no tengo tiempo ni energía en este momento, tal vez mañana si nadie ha respondido. Ahora que lo pienso, es posible que este resultado sea cierto solo en espacios razonables (digamos CW complejo, ¿o al menos bien apuntado?).
@NajibIdrissi No creo que sean equivalentes en general. El capítulo 0 del libro de Hatcher tiene un par de ejemplos de espacios tales que el mapa de identidad es homotópico nulo, pero no homotópico nulo en relación con un punto.
@AymanHourieh Sí, eso es lo que pensé. Sin embargo, ese espacio no está bien señalado.

Respuestas (1)

Estas dos definiciones no son equivalentes en general. En mi experiencia, la primera definición es más común. Para ver un ejemplo de un espacio cuya identidad es homotópica nula pero no homotópica nula con respecto a un punto, consulte los ejercicios 6 y 7 en el capítulo 0 de Topología algebraica de Hatcher.

Si un espacio es contráctil en el sentido de que la identidad es homotópica nula, entonces es una homotopía equivalente a un punto. En particular, está simplemente conectado.

¿Cuál es la definición de espacio contráctil? (No es un duplicado)
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