¿Qué son y cuáles son algunos ejemplos de estructuras abstractas?

En aras de dar una respuesta suficientemente aceptable, comenzaré citando la definición de estructura abstracta dada en Wikipedia, luego la seguiré con un par de observaciones de naturaleza filosófica y luego haré todo lo posible para redirigir estas observaciones en el ámbito de las Matemáticas para apoyar y ejemplificar la definición.

Definición: Una estructura abstracta es un objeto formal que está definido por un conjunto de leyes, propiedades y relaciones de una manera que es lógicamente, si no siempre históricamente, independiente de la estructura de experiencias contingentes, por ejemplo, aquellas que involucran objetos físicos.

Verás, uno de los rasgos característicos de nosotros los humanos es nuestro poder de abstracción; es decir, nuestra capacidad de comprender no solo lo que se sustituye a la experiencia, sino también aquellas construcciones conceptuales e inteligibles que surgen únicamente en nuestras mentes. El punto clave aquí es que no solo somos capaces de comprender lo abstracto, sino que también podemos crear, manipular y transformar estos constructos a nuestra voluntad, y mediante el uso del habla y la escritura podemos compartir todo esto con otros. queridos seres humanos.

Esta facultad particularmente notable ha creado casi desde el comienzo de la historia del pensamiento una dicotomía de la realidad, a saber, la realidad concreta que experimentamos y la realidad abstracta que comprendemos. Este tema ontológico ha sido ampliamente discutido por varias (si no todas) tendencias filosóficas, y la razón por la que lo menciono en esta pregunta es porque la noción de una estructura abstracta se encuentra en el fondo de esta distinción de realidades.

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Correcto, antes de comenzar a hablar sobre estructuras abstractas en Matemáticas, sería interesante ver cuál es la definición de estructura . Según el Diccionario de Cambridge:

Definición: una estructura es la forma en que están dispuestas u organizadas las partes de un sistema u objeto, o un sistema dispuesto de esta manera.

Por nuestra discusión anterior, podemos inferir que una estructura abstracta es una estructura de esa realidad inteligible mencionada anteriormente y no una que pertenece a nuestra experiencia concreta. La cuestión ahora es la siguiente: ¿ cómo podemos organizar un sistema de objetos que ni siquiera podemos experimentar? Aunque suene un poco tonto, esta es una pregunta fundamental. Por ejemplo, un edificio, un libro, una lámpara y una canción son ejemplos de estructuras, pero dependemos de algún tipo de maquinaria física para construirlas y experimentarlas. Entonces, ¿cómo hacemos esto para estructuras abstractas? Aquí es donde el objeto formalentra en juego parte de la definición; Comenzaré dando un ejemplo natural de una estructura abstracta y luego explicaré cómo se realizan generalmente estas construcciones en Matemáticas.

En Egipto y Mesopotamia, la gente necesitaba algún tipo de herramienta para realizar un seguimiento de varios problemas de responsabilidad, como impuestos o existencias de alimentos. Para hacerlo, desarrollaron una estructura abstracta que consiste en algunos objetos (ahora llamados números enteros ) y algunas operaciones entre ellos (ahora llamadas suma y multiplicación ) y con el tiempo, esta estructura se estandarizó hasta el punto de que ahora todos podemos estar de acuerdo en lo mismo. notación para referirse al mismo sistema numérico. Entonces, ¿qué es exactamente este sistema numérico? Pues consta de:

• $\underline{Integers}$($\mathbb{Z}$): estos son elementos del conjunto$\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.
• $\underline{Addition}$($+$): esta es una operación binaria (es decir, toma dos entradas y da una salida) que satisface las siguientes propiedades:

$$(a+b)+c = a+(b+c) \ \ \text{ for all integers } \ \ a,b,c.$$

$$a +b = b+a \ \ \text{ for all integers } \ \ a,b.$$

$$a+0 = a \ \ \text{ for all integers } \ \ a.$$

$$a + (-a) = 0 \ \ \text{ for all integers } \ \ a.$$

• $\underline{Multiplication}$($\cdot$): esta es una operación binaria (es decir, toma dos entradas y da una salida) que satisface las siguientes propiedades:

$$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) \ \ \text{ for all integers } \ \ a,b,c.$$ $$a \cdot b = b\cdot a \ \ \text{ for all integers } \ \ a,b.$$ $$a\cdot 1 = a \ \ \text{ for all integers } \ \ a.$$ $$(a+b)\cdot c = (a\cdot c) + (b \cdot c) \ \ \text{ for all integers } \ \ a,b,c.$$ $$a\cdot (b+ c) = (a\cdot b) + (a \cdot c) \ \ \text{ for all integers } \ \ a,b,c.$$

¡Este es un ejemplo de una estructura abstracta! Tenga en cuenta que la noción de que este es un objeto formal proviene del hecho de que para definirlo hemos utilizado algunos símbolos (es decir,$+, -, \cdot, 0,1, -3\dots$, e incluso$(, )$y$=$) que por sí solos no significan nada;$+$por ejemplo, no significa suma a menos que le diga cuáles son las reglas de la suma y cuáles son los objetos que realmente está sumando (en nuestro caso, números enteros).

Ahora quizás estés pensando: pero Rick, ¿qué quieres decir con eso?$+$no significa suma? Por supuesto que sí, ¡siempre ha sido así ! Bueno, siempre ha sido así si consideras el marco de tiempo de tu vida, y tal vez incluso hace algunos siglos; como dije, este símbolo ahora es tan común y estandarizado que cuando vemos un$+$inmediatamente sabemos cómo usarlo y qué reglas obedece. Sin embargo, estoy bastante seguro de que los egipcios y los mesopotámicos no usaban$+$como símbolo de suma y tampoco usaron los símbolos$-1, -4, 0, 1, 23, \dots$para denotar los números enteros y, sin embargo, todavía usaban las mismas reglas de suma que usamos hoy para$+$en los números enteros e hicieron matemáticas bastante asombrosas con eso y más. Después de esto, le sugiero que vaya y lea nuevamente la definición de estructura abstracta y vea si tiene más sentido ahora.

Más generalmente, en Matemáticas empezamos usando algún tipo de lenguaje formal o colección de símbolos que por sí mismos no significan nada, al igual que$\rightarrow, \sim, \oplus, \cup$(de ahí viene el objeto formal de la definición) y luego imponemos ciertas reglas (generalmente llamadas axiomas ) a estos símbolos para que esta combinación de símbolos con reglas nos permita definir ciertos objetos matemáticos de nuestro interés. En el caso anterior, una estructura que obedece a las propiedades descritas anteriormente se denomina anillo ( conmutativo y unitario ) , y si nos restringimos a$\mathbb{Z}$junto con la adición llamamos a la estructura resultante un grupo ( aditivo abeliano ) ; algunos otros ejemplos de anillos y grupos se dan reemplazando$\mathbb{Z}$con otros conjuntos de números como los racionales, los reales o los complejos, y todos estos son nuevamente estructuras abstractas (de hecho, se les llama estructuras algebraicas ).

Solo para concluir y reiterar mi punto, todos los objetos matemáticos son ejemplos de estructuras abstractas ya que para definirlas uno necesita hacer uso de algún tipo de lenguaje formal o colección de símbolos y luego uno necesita especificar las reglas que estos símbolos obedecen. ; esta construcción es precisamente lo que hace que los objetos matemáticos sean "independientes de las experiencias contingentes" y lo que en muy buena parte proporciona rigor y exactitud a toda Matemática.

La abstracción está en todas partes en Matemáticas, es una herramienta poderosa y permite la generalización de reglas y teoremas. Hay muchos debates sobre si algunas cosas que estudian los matemáticos son abstractas, hechas por el hombre o ya están en la naturaleza (por ejemplo, números), pero para los matemáticos esto realmente no importa, es más una cuestión filosófica. Aquí hay una cita en uno de los libros de Terrence Tao, él es un matemático que muchos consideran el mejor del mundo:

No le hemos dicho qué son los números naturales (por lo que no abordamos cuestiones como de qué están hechos los números, si son objetos físicos, qué miden, etc.); solo hemos enumerado algunas cosas que puede hacer con ellos y algunas de las propiedades que tienen. Así es como funcionan las matemáticas: trata sus objetos de manera abstracta, preocupándose solo de las propiedades que tienen los objetos, no de lo que son o de lo que significan. Si uno quiere hacer matemáticas, no importa si un número natural significa cierta disposición de cuentas en un ábaco, o cierta organización de bits en la memoria de una computadora, o algún concepto más abstracto sin sustancia física; siempre que pueda incrementarlos, ver si dos de ellos son iguales y luego hacer otras operaciones aritméticas como sumar y multiplicar,

Esto se aplica a muchas otras cosas en Matemáticas, los matemáticos simplemente no se preocupan por el lado filosófico de las cosas.

Es cierto que muchas cosas matemáticas básicas comenzaron basadas en cosas del mundo real, pero eventualmente se volvieron más abstractas y complejas (principalmente porque ayudan a generalizarlas), todo lo que estudias en Matemáticas es abstracto, pero algunas de las cosas pueden ser concretas dependiendo de el contexto (esto es en la rama de las Matemáticas denominada "Matemáticas Aplicadas" y en otros campos como la Ingeniería y la Física). Por ejemplo, lo más probable es que hayas aprendido sobre las leyes de la suma, cómo sumar números, etc. Cuando te hacen un ejercicio que te pide encontrar el resultado de$3+5$todavía está en el sentido abstracto (lo que es realmente$3$y$5$aquí?) pero cuando vas al supermercado y tomas$3$manzanas verdes y$5$manzanas rojas y obtener$8$manzanas en total, entonces estás asignando objetos y significados concretos a estos números, pero al final del día, estas son solo ideas abstractas que nos ayudan a entender el mundo.

Les di el ejemplo de los números ya que eso es lo que todos aprenden primero en Matemáticas, quería mostrarles que incluso las cosas básicas en Matemáticas son de hecho abstractas, simplemente sucede que puedes darles un significado concreto a algunas y a otras no. Las Matemáticas se dividen principalmente en 2 ramas principales: Matemáticas Aplicadas y Matemáticas Puras. Como sugiere el nombre, Matemáticas aplicadas es donde encontraría a los matemáticos dando un significado concreto a estos objetos y encontrando aplicaciones del mundo real a toda esta abstracción (esto combina bien con materias como física, ingeniería, economía, etc.) mientras que las materias clasificadas como parte de Matemáticas puras suelen ser cosas para las que no encontramos aplicaciones.

Espero que esto haya aclarado un poco las cosas, buena suerte con tu viaje.