Objetos terminales en la categoría htophtophtop

Creo que estás cometiendo el error de pensar que los mapas son equivalencias homotópicas.

Si$T$es contráctil, entonces para la mayoría de los espacios$X$, de hecho no existe una equivalencia de homotopía$X \to T$.

Sin embargo, dados dos espacios no vacíos$X$y$Y$, siempre existe un mapa continuo$f : X \to Y$(por ejemplo, una función constante). La clase de homotopía de$f$es por tanto un elemento de$\hom_{\mathbf{hTop}}(X, Y)$.

En particular, si$Y$es un espacio de un punto, entonces hay un mapa continuo único$X \to Y$(incluso si$X$esta vacio). Por lo tanto, hay una clase de mapas de homotopía única$X \to Y$, y entonces$Y$es terminal en hTop .

Si$T$es la homotopía equivalente a$Y$, entonces es isomorfo a$Y$en hTop , entonces$T$es terminal también.

Este argumento se puede generalizar:

Teorema: Si$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$es un funtor completo y esencialmente sobreyectivo y$T$es un objeto terminal de$\mathcal{C}$, entonces$F(T)$es un objeto terminal de$\mathcal{D}$.

cada mapa$f:X \to \{pt\}$es continuo y homotópico a un mapa constante. Se sigue que el objeto$\{pt\}$es terminal.

En particular, siempre hay un mapa constante$X \to \{pt\}$y es claramente único.