¿Un enfoque categórico de la teoría de nudos?

Para "estudiar X desde la perspectiva de Y", debe tener una buena razón para creer que el lenguaje de Y es efectivo para estudiar X. (Imagine leer una pregunta titulada "un enfoque teórico de nudos para la teoría de categorías". ¿Por qué deberían ayudar los nudos? ¿Entendemos categorías?) Sin un argumento de que algo es fructífero, estamos persiguiendo fantasmas.

En última instancia, debe definir qué es una incrustación de nudos, debe definir qué es una isotopía de nudos, para hablar sobre grupos de nudos necesita saber qué es un complemento de nudo, para hablar sobre el teorema de Reidemeister necesita saber qué proyecciones de nudo son (y el teorema de Reidemeister en sí mismo no es pura formalidad, requiere realmente pensar en cómo se ven las isotopías PL cuando se proyectan al plano). Para hablar sobre las cosas sofisticadas que le pueden entusiasmar, como el polinomio de Jones o la homología de Khovanov, necesita saber qué es un diagrama de cruce y cuáles son los movimientos de Reidemeister y la relación de la isotopía del nudo con los diagramas de cruce módulo Reidemeister se mueve. Y así sucesivamente y así sucesivamente.

No veo ninguna razón por la que las categorías de modelos o la teoría de la homotopía puedan proporcionar una sola pieza de comprensión de lo anterior.

Claro, hay, digamos, un conjunto simplicial cuyos vértices son incrustaciones$S^1 \to S^3$y cuyos bordes son isotopías (y las celdas k son secciones incrustadas de la proyección$S^3 \times \Delta^k \to \Delta^k$). Eso te da un espacio de nudos, lo cual es interesante, pero no ayuda con nada de lo que mencioné anteriormente.

También hay, digamos, una categoría ('la categoría de concordancia') cuyos objetos son incrustaciones$j: S^1 \to S^3$y cuyos morfismos$\text{Hom}(i,j)$son incrustaciones$H: [0,1] \times S^1 \to [0,1] \times S^3$de modo que$H(t,z) = (t, i(z))$para$t \in [0, \epsilon)$mientras$H(t, z) = (t, j(z))$para$t \in (1-\epsilon, 1]$. Pero esto es algo adicional que puede estudiar / investigar, conectando la teoría de nudos tridimensionales y la teoría de nudos (superficiales) de 4 dimensiones. De alguna manera no te ayuda con lo básico.

Tienes que ensuciarte las manos. No hay ideas categóricas mágicas que eviten eso.

Una parte de la teoría de nudos donde la teoría de categorías es útil es en el estudio de los invariantes de nudos. Uno de los primeros métodos fue utilizar el teorema de Markov, que cada nudo es el cierre de una trenza. Al encontrar representaciones del grupo de trenzas que tengan un "rastro" que satisfaga propiedades particulares, puede obtener invariantes de nudos como los polinomios de Jones y HOMFLY. El grupo de la trenza termina siendo el grupo de endomorfismos invertibles de una categoría más grande, la categoría de enredo , y cada una de las representaciones se generaliza a ser funtores de la categoría de enredo a la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf cuasitriangular (por ejemplo, un llamado grupos cuánticos, ciertas deformaciones de álgebras envolventes universales de álgebras de Lie). Todo esto cae bajo el título de "teoría topológica del campo cuántico" o TQFT.

Los nudos y la teoría de la representación están profundamente entrelazados. Aquí hay un ejemplo. En la teoría de la representación clásica, un aspecto de la dualidad de Schur-Weyl es que todo endomorfismo de$V^{\otimes n}$que viaja con el$SL(V)$la acción se puede escribir como una combinación lineal de permutaciones. Para$U_q(\mathfrak{sl}(2))$, la deformación cuántica de$\mathfrak{sl}(2)$, las permutaciones se reemplazan con combinaciones lineales de trenzas. (Sin embargo, los mapas lineales de permutaciones y trenzas no son inyectivos).

La homología de Khovanov es una "categorización" del polinomio de Jones. Los polinomios se reemplazan con módulos (complejos de cadenas en particular), y ciertos tipos de mapas entre nudos (concordancia de nudos) se envían a homomorfismos de complejos de cadenas. Hay un artículo de Lauda y Pfeiffer que parece dar una construcción de homología de Khovanov para enredos, pero no estoy seguro de si esto da una construcción funcional en el sentido anterior (realmente no lo he leído).

Conozco gente que trabaja en TQFT con poca intuición geométrica. Les cuesta entender mis diagramas y a mí me cuesta seguir sus manipulaciones con la notación de Sweedler. Tal vez esto sugiera que estas cosas no son "realmente" teoría de nudos, pero la teoría de nudos es un gran tema. Yo mismo lo encontraría todo muy difícil si no tuviera una base sólida en topología geométrica y 3-variedades.

Otro(s) libro(s) que pueden ser de su interés son los de Kauffman. Le gusta trabajar con nudos como objetos combinatorios formales, y eso se presta bien al tratamiento categórico.