Explicación de la definición: definición de punto de un conjunto en la teoría de categorías

Acabo de empezar a estudiar teoría de categorías usando el libro: "Matemáticas conceptuales" de F. WILLIAM LAWVERE y STEPHEN H. SCHANUEL y hay una cosa que no puedo entender. En el primer capítulo, antes de dar la definición de Categoría, el autor da el ejemplo de la categoría de conjuntos finitos y mapas entre esos conjuntos.

En algún momento durante el ejemplo da la siguiente definición:

Fijar un conjunto conjunto único denotado como 1 . Entonces un punto de un conjunto X es un mapa 1 → X .

Pondré un pequeño ejemplo para poder explicar lo que me confundió acerca de esta definición.

Dejar X ser el conjunto { a B C } . Aquí a,b,c son solo letras y no variables que representan algo.

  1. Si arreglamos un conjunto singleton 1 , entonces hay 3 mapas de 1 a X . Sólo dicen que un punto es un mapa de 1 → X pero nunca especifican qué mapa, por lo que supongo que el punto "a" es el mapa que asocia el único elemento de 1 a "un". ¿Es esto correcto?

  2. son los elementos del conjunto X y los puntos del conjunto X ¿la misma cosa? ¿Es un punto un elemento del conjunto? Si este es el caso y el conjunto X es una colección de esos puntos (esto es, la colección de mapas 1 → X ), entonces lo que estamos haciendo es definir un punto usando la definición de punto: Estamos definiendo un punto como una función de 1 a un conjunto de otros puntos. Entonces tiene sentido que el conjunto X tiene sus elementos: "a,b,c" y luego también están los puntos "a", "b" y "c".

  3. Hay infinitos conjuntos singleton que podemos elegir como nuestro conjunto 1 . ¿Significa eso que cada punto tiene una cantidad infinita de formas en que se puede representar como funciones? O si 1 y 1 ′ son diferentes conjuntos singleton, y si 1 → X y 1 ′ → X son dos funciones que asignan el elemento del conjunto único a "a", ¿eso cuenta como un solo punto (el punto "a") o como dos puntos separados?

Gracias.

El punto detrás de la definición es que en la teoría de categorías hablamos (principalmente) de una categoría en términos de sus objetos y sus flechas. Interpretar un punto en un conjunto como una flecha desde un singleton hacia este conjunto nos permite olvidarnos de la estructura interna del conjunto y hablar de sus elementos como flechas que pueden generalizarse a otras categorías.

Respuestas (1)

  1. Sí.

  2. Si introduces la notación a ∈ X porque "a es un elemento del conjunto X ", entonces a ∈ X es sinónimo de "para todos los conjuntos singleton { ∗ } , hay un morfismo F : { ∗ } → X con F ( ∗ ) = a . Entonces, no, los elementos de un conjunto y los puntos de un conjunto no son lo mismo. Pero, están en una correspondencia biyectiva. Y no, un punto (típicamente) no es un elemento. Lo que hay que notar aquí es que para hablar del elemento a ∈ X debemos introducir la notación ∈ . Pero para hablar de un punto X (en el sentido dado en el libro), no necesitamos introducir nada nuevo. Todo lo que tenemos es la categoría de conjuntos, y un punto se define en términos categóricos. Si la definición de la categoría de conjuntos se puede dar sin usar ∈ de cualquier manera, entonces obtenemos una forma de razonar sobre conjuntos sin usar nunca ∈ (esto se puede hacer, de una manera inteligente).

  3. Correcto, cada punto tiene muchas presentaciones diferentes, una para cada elección del conjunto actual 1 . Todas estas presentaciones son canónicamente 'lo mismo'. En lugar de identificarlos, simplemente dejamos que todos coexistan en paz. Simplemente recordamos que un punto es un morfismo 1 → X , dónde 1 es un singleton fijo. Realmente no importa cuál (o cuál 1 ) es.

Esto fue muy útil, gracias.
De nada.
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