Subvariedad sumergida de contraejemplo.

Question

Subvariedad sumergida de contraejemplo.

colectores
Matemáticas
subvariedad
geometría diferencial

kabouter9

Dejar $M$ ser un múltiple.

Dejar $N$ ser un subconjunto de $M$ y supongamos que $N$ está dotado de una estructura múltiple para la cual la inclusión $i: N \rightarrow M$ es un mapa suave. Es $N$ necesariamente una subvariedad sumergida de $M$ ?

Mi definición de una subvariedad sumergida es la siguiente: una subvariedad sumergida de $M$ es un subconjunto $H \subset M$ con una topología y una estructura múltiple suave tal que la inclusión $i: H \rightarrow M$ es una inmersión.

Mirando la definición de una subvariedad sumergida, me parece claro que la declaración no es verdadera ya que la derivada de la inclusión en cada punto tiene que ser inyectiva. Sin embargo, no puedo encontrar un contraejemplo. Además, tengo problemas para encontrar ejemplos de inclusiones cuya derivada en un punto no sea inyectiva. Alguien que me pueda dar un ejemplo claro? ¡Gracias de antemano!

Perro_69

Podría valer la pena comenzar a estudiar los puntos críticos de una función suave. Como probablemente sepas, si

f : M \to N

$f:M\to N$ es una función suave y

f

$f$ es un verano en

p \in M

$p\in M$ , entonces

f^{- 1} (p)

$f^{-1}(p)$ es una subvariedad de

M

$M$ . Vea lo que sucede en los puntos críticos. estaba pensando en el mapa

{(x, y) \mapsto x^{3} - y^{2}}

$\{(x,y)\mapsto x^3-y^2\}$ . La preimagen de cero debajo de este mapa parece suave, pero debido a que se ha considerado como una subvariedad, es posible que no sea una subvariedad inmersa.

Respuestas (2)

Subvariedad sumergida de contraejemplo.

Podría valer la pena comenzar a estudiar los puntos críticos de una función suave. Como probablemente sepas, si $f:M\to N$ es una función suave y $f$ es un verano en $p\in M$ , entonces $f^{-1}(p)$ es una subvariedad de $M$ . Vea lo que sucede en los puntos críticos. estaba pensando en el mapa $\{(x,y)\mapsto x^3-y^2\}$ . La preimagen de cero debajo de este mapa parece suave, pero debido a que se ha considerado como una subvariedad, es posible que no sea una subvariedad inmersa.

salvelino ártico · Answer 1

Dejar $M = \mathbb R^2$ y $N = \{ (x, 0)\in M|\ x\in \mathbb R\}$ sea el eje x. Entonces $\{(N, \varphi)\}$ con $\varphi : N\to \mathbb R$ , $\varphi (x, 0) = x^{1/3}$ es un atlas suave en $N$ . Dejar $\iota : N \to M$ sea la inclusión, luego bajo el gráfico local $(N, \varphi)$ y $(\mathbb R^2, \mathrm{id})$ en $M = \mathbb R^2$ ,

{i d}_{METRO} \circ yo \circ φ^{- 1} (t) = (t^{3}, 0) .

$\mathrm{id}_M \circ \iota \circ\varphi^{-1} (t) = (t^3, 0).$ De este modo

ι

$\iota$ es suave pero no sumergido.

¿Podría explicar por qué la derivada de la inclusión no es inyectiva? Perdón por la respuesta tardía, pero pensé que lo tenía pero cometí un error estúpido del que me di cuenta ahora.
Mi definición de un vector tangente es una clase de equivalencia de curvas suaves $\gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow M$ con $\gamma(0) = p$ dónde $\gamma_1 \sim \gamma_2 \iff$ existe un gráfico $(U,\phi)$ tal que $(\phi\circ \gamma_1)'(0) = (\phi\circ\gamma_2)'(0)$ . Con una mala notación, pero con suerte comprensible, esto da con su contraejemplo lo siguiente, que $[i\circ\gamma_1] = [i\circ\gamma_2]$ implica que $\gamma_1'(0) = \gamma_2'(0)$ . Debemos tener entonces que $[\gamma_1] \neq [\gamma_2]$ . Pero resolver esto con su gráfico específico le da [...]
[...] $1/3 \gamma_1^{-2/3}(0) \gamma_1'(0) = 1/3 \gamma_2^{-2/3}(0) \gamma_2'(0)$ , lo que siempre es cierto ya que $\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$ y la hipótesis.
Dejar $\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to N$ ser $\gamma (t) = (t^3, 0)$ . Entonces $\varphi \circ \gamma (t) = t$ , de este modo $[\gamma]$ corresponde a un vector tangente distinto de cero. Pero $d\iota [\gamma] = [\iota\circ \gamma]$ y $(\iota\circ \gamma)'(0) = (0,0)$ es cero De este modo $d\iota$ mapea un vector tangente distinto de cero $[\gamma]$ al vector cero, y así $d\iota$ no es inyectable. @Kabouter9

Matematleta · Answer 2

Aquí hay otro ejemplo fácil, tomado del muy legible libro de Loring Tu "An Introduction to Manifolds": tome $N=(\mathbb R,\text{id})\ M=(\mathbb R^2,\text{id})$ y $f: t\mapsto (t^2,t^3).$ Entonces, $f$ es inyectivo, pero $f'(0):T_0\mathbb R\to T_0\mathbb R^2$ es la transformación lineal cero. El gráfico ilustra el "problema".

Para ser precisos, su $f$ no es el mapa de inclusión, y si está enmarcado correctamente, su ejemplo es casi el mismo que el mío: en $N$ tu defines el grafico $(N, \varphi)$ con $\varphi (t^2, t^3) =t$ . Entonces da una estructura suave en $N$ y la inclusión $\iota : N \to \mathbb R^2$ tiene $f = \iota \circ \varphi^{-1}$ .
Si gracias. El ejemplo de Tu no se aplica como está escrito aquí.

Subvariedad sumergida de contraejemplo.

kabouter9

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