Estructura suave única en un submanifold incrustado.

Estaba leyendo esta proposición en el libro de Lee y tenía dos preguntas al respecto.

Proposición 5.2 (Imágenes de incrustaciones como subvariedades). Suponer$M$es una variedad uniforme con o sin límite,$N$es una variedad suave, y$F : N \to M$es una incrustación suave. Dejar$S = F(N)$Con la topología del subespacio,$S$es una variedad topológica, y tiene una estructura suave única que la convierte en una subvariedad incrustada de$M$con la propiedad que$F$es un difeomorfismo sobre su imagen.

Prueba. Si le damos a S la topología del subespacio que hereda de$M$; entonces la suposición de que$F$es una incrustación significa que$F$puede ser considerado como un homeomorfismo de$N$sobre$S$, y por lo tanto$S$es una variedad topológica. Le damos a S una estructura suave tomando los gráficos suaves como aquellos de la forma$(F(U),\phi \circ F^{-1})$, dónde$(U,\phi)$es cualquier gráfico uniforme para N ; la compatibilidad fluida de estos gráficos se deriva inmediatamente de la compatibilidad fluida de los gráficos correspondientes para$N$. Con esta estructura suave en$S$, el mapa$F$es un difeomorfismo sobre su imagen (esencialmente por definición), y esta es obviamente la única estructura suave con esta propiedad. El mapa de inclusión$S \hookrightarrow M$M es igual a la composición de un difeomorfismo seguido de una incrustación suave:$S \xrightarrow{F^{-1}} N \xrightarrow{F} M$- y por lo tanto es una incrustación suave.

¿Cómo mostramos eso?

esta es obviamente la única estructura lisa con esta propiedad

También si tomamos el ejemplo básico donde$F=\iota$el mapa de inclusión, luego la estructura que definimos en$S$debiera ser$(\iota^{-1}(U),\phi \circ \iota)= (U\cap S, \phi|_S)$¿No? Y no$(\iota(U),\phi \circ \iota^{-1})$¿bien?