¿Por qué la cohomología de Rham y la cohomología de Cech de la gavilla constante son iguales?

Me siento cómodo con la cohomología de Rham, las gavillas, la cohomología de gavillas y la cohomología de Cech.

Busco probar el siguiente teorema:

Si$M$es una variedad suave de dimensión$m$, entonces tenemos el siguiente isomorfismo para cada$k \leq m$

$$H^k_{\text{dR}}(M) \cong \check{H}^k(M; \mathbb R_M).$$ Por $\mathbb R_M$Me refiero a la gavilla constante de $\mathbb R$en $M$.

Delinearé la prueba que estoy siguiendo y daré mis dos preguntas a medida que surjan.

si dejamos$\Omega^k$denotan la gavilla de gérmenes de$k$formularios en$M$entonces por el lema de Poincaré tenemos una sucesión exacta

$$0 \rightarrow \mathbb R_M \rightarrow \Omega^0 \rightarrow \Omega^1 \rightarrow \ldots \rightarrow \Omega^m \rightarrow 0,$$ siendo los mapas diferenciales la derivada exterior.

¿Por qué esta secuencia es exacta pero el complejo de Rham no?

En particular, creo que no tengo claro en qué se diferencia una "gavilla de gérmenes" de una gavilla. Y si tomo secciones globales, ¿recuperaré el complejo de Rham habitual?

De todos modos, asumiendo que la sucesión es exacta, obtenemos una serie de sucesiones exactas cortas (SES) de la forma

$$0 \rightarrow d\Omega^{k-1} \rightarrow \Omega^k \rightarrow d\Omega^k \rightarrow 0.$$ la gavilla $\Omega^k$está bien, y de ahí su cohomología $H^i(\Omega^k)$se desvanece por $i>0$. Por lo tanto obtenemos un isomorfismo $H^i(d\Omega^{k-1}) \cong H^{i+1}(d\Omega^k)$para cada $i$. Sin embargo, la última oración de esta prueba es un misterio para mí.

"En un extremo de la cadena está la cohomología de Čech y en el otro se encuentra la cohomología de Rham".

Puedo ver por qué después de tomar secciones globales recuperamos la cohomología de Rham, es decir, la$H^0$que provienen del SES anterior es$H^k_{\text {dR}}(M)$. Y la cohomología Cech coincide con la cohomología sheaf. Pero no estoy seguro de cómo relacionarlos: ¿debería estar variando$k$y obtener isomorfismos a través de las secuencias exactas largas correspondientes a diferentes$k$?