aclaración sobre el uso de la inmersión en la definición de subvariedades incrustadas

la definición de subvariedades incrustadas como se da en el texto de standby es:

la imagen de una incrustación topológica + inmersión es una subvariedad incrustada

Supongamos que tenemos una variedad suave$M$y$N$de dimensiones$m$y$n$tal que$m\gt n$.Dejar$F\colon N\to M$ser un mapa suave y una incrustación topológica en su imagen$F(N)$bajo topología subespacial que$F(N)$hereda de$M$. Entonces, hay una estructura suave en$F(N)$tal que$F\colon N \to F(N)$es un difeomorfismo (los mapas de coordenadas suaves son solo mapas de la forma$f\circ F^{-1}$, dónde$f$es un mapa de coordenadas suave para$N$). Por lo tanto, nos da una variedad suave$F(N)$de dimensión similar a$N$que se sienta dentro$M$.Además, F(N) tiene una estructura suave heredada naturalmente de la estructura suave en M y ambas estructuras pueden ser completamente diferentes como se muestra en el siguiente ejemplo:

Dejar$N=\Bbb R$y$M=\Bbb R^2$. El mapa$F\colon N\to M$,$x\mapsto (x^3,0)$es una incrustación topológica de$\Bbb R$en$\Bbb R^2$. Sin embargo, la imagen$F(N)=\Bbb R\times 0\subset \Bbb R^2$no hereda la misma estructura suave que un subespacio de$M$como lo hace empujando hacia adelante la estructura lisa de$N$. (Las dos estructuras lisas en$F(N)$producen variedades difeomorfas, pero no son equivalentes).

Entiendo que queremos investigar formas significativas de dotar$\pmb F(N)$con una estructura subvariedad suave . La palabra "subvariedad" aquí sugiere que algo sobre la estructura suave en$\pmb F(N)$debe ser compatible con la estructura lisa de$\pmb M$.Pero, como se muestra en el ejemplo anterior, hay dos estructuras suaves en$\pmb F(N)$.

Mi pregunta es:

¿Hay un papel de tomar$F$como una inmersión, de modo que ambas estructuras lisas (la empujada hacia adelante a través de$F$y el heredado de$M$) son lo mismo? Si no es así, ¿por qué se consideran las inmersiones en la definición?

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