¿Qué ejemplos se conocen de un conjunto denso y co-denso de medias tintas?

Todos los ejemplos de un conjunto denso y codenso que he visto son de medida Lebesgue completa o de medida cero. Por ejemplo, en la restricción al intervalo unitario$\Bbb I=[0\,\pmb,\,1]$, podríamos tener respectivamente$\Bbb I\cap\Bbb Q$o$\Bbb I\setminus\Bbb Q$. Lo que estoy buscando es un subconjunto denso y co-denso$A\subset\Bbb I$tal que

$$\operatorname{m}(A)=\operatorname{m}(\Bbb I\setminus A)=\tfrac12.$$ He intentado esta tarea secuencialmente, cada vez más finamente, mordisqueando agujeros en subintervalos de$\Bbb I$y rellenando parcialmente los huecos creados previamente. Es fácil acercarse a la mitad de la medida en cada paso, pero no veo cómo lograr la convergencia.