(fn)(fn)(f_n) Borel medible implica supnfnsupnfn\sup_n f_n e infnfninfnfn\inf_n f_n Borel medible

Suponer$(f_n)$es una secuencia de funciones medibles de Borel. Demuestra que ambos$\sup_nf_n$y$\inf_nf_n$son Borel medibles.

Intentar:

Suponer$(f_n)$es una secuencia de funciones medibles de Borel. Eso es,$f^{-1}_n((\alpha,\infty])$es un conjunto de Borel para todos$\alpha\in\overline{\mathbb{R}}$. (dónde$\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$, los números reales extendidos)

Entonces$\forall\alpha\in\overline{\mathbb{R}}, \{\sup_nf_n>\alpha\}=\cup_{n=1}^{\infty}\{f_n>\alpha\}=\cup f^{-1}_n((\alpha,\infty])$.

Del mismo modo para el ínfimo, obtengo que$\{\inf_n f_n\geq \alpha\}=\cap_{n=1}^{\infty}\{f_n\geq \alpha\}=\cap_{n=1}^{\infty}f^{-1}_n((\alpha,\infty])$

Si estuviera trabajando en$\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$en lugar de$\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$, entonces podría concluir que ambos son conjuntos de Borel ya que eran uniones e intersecciones de conjuntos abiertos, pero como mis intervalos están semicerrados, no estoy seguro de cómo concluir que estos intervalos son conjuntos de Borel. ¿Alguien puede proporcionar una pista? Gracias.