Una pregunta sobre la continuidad absoluta

Este es un ejercicio de Royden, Flitzpatrick's Real Analysis (4ª edición), capítulo 6, QN 39.

Dejar$f:[a,b]\to \mathbb R$Sea una función creciente. tengo que mostrar eso$f$es absolutamente continua iff para cada$\varepsilon >0$existe$\delta >0$tal que para cada subconjunto medible$E$de$[a,b]$con$m(E)<\delta$, tenemos$m^*(f(E))<\varepsilon$.

Yo procedo así: Vamos$f$ser creciente y absolutamente continuo. Dejar$\varepsilon >0$. Así existe$\delta >0$tal que$\delta$cumple los requisitos de continuidad absoluta. Dejar$E$ser un subconjunto medible de$[a,b]$con$m(E)<\delta$. Por lo tanto, existe una colección contable disjunta por pares de intervalos abiertos$\{(a_k,b_k):k=1,2,\ldots,n\}$tal que$E\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}(a_k,b_k)$y$\sum\limits_{k=1}^{\infty}|b_k-a_k|<\delta$. Desde$f$va en aumento, por lo tanto$f((a_k,b_k))\subset (f(a_k),f(b_k))$para todos$k\in \mathbb{N}$. De este modo$f(E)\subset f(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}(a_k,b_k))\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} (f(a_k),f(b_k))$y entonces$m^*(f(E))\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}|f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon$como$f$es absolutamente continuo.

Por el contrario, permita que se cumpla la condición dada. Dejar$\varepsilon >0$y deja$\delta$trabaja por ello. Dejar$\{(a_n,b_n):n\in \mathbb{N}\}$Sea una colección disjunta por pares de intervalos abiertos tal que$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|b_n-a_n|<\delta$. Entonces$E=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(a_n,b_n)$es un conjunto medible de Lebesgue con$m(E)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|b_n-a_n|<\delta$. Por lo tanto por hipótesis,$m^*(f(E))<\varepsilon$.

El problema comienza aquí. A menos que$f$es continuo$f(a_k,b_k)$y$(f(a_k),f(b_k))$puede que no sea lo mismo. Entonces como proceder. Por favor ayuda.