¿La terminación de Borel σσ\sigma-algebra es igual a la terminación de la medida exterior de Lebesgue?

Mi grupo de estudio y yo discutimos esta cuestión hoy.

Podemos construir la medida de Lebesgue utilizando el teorema de extensión de Caratheodory de la forma habitual:

• Dada la función$F(x) = x$, podemos construir una medida previa$\mu_F$asociado con$F(x)$definido en un álgebra de "intervalos" (Folland usa intervalos h cerrados por la derecha);
• A partir de esta premedida, podemos inducir una medida exterior$\mu^*$sobre el conjunto potencia de los reales;
• Usando el teorema de extensión de Caratheodory, la colección de$\mu^*$-conjuntos medibles es un completo$\sigma$-álgebra, y$\mu^*$restringido a esto$\sigma$-el álgebra es una medida completa.

esta completo$\sigma$-el álgebra es, en cierto sentido, una estructura "grande"; ciertamente es más grande que los conjuntos de Borel y debe contener todos los conjuntos medibles de Lebesgue.

Sin embargo, Folland proporciona un teorema relacionado:

Teorema 1.14 Sea$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ser un álgebra,$\mu_0$una medida previa en$\mathcal{A}$, y$\mathcal{M}$el$\sigma$-álgebra generada por$\mathcal{A}$. existe una medida$\mu$en$\mathcal{M}$cuya restricción a$\mathcal{A}$es$\mu_0$-- es decir,$\mu = \mu^*|_\mathcal{M}$, dónde$\mu^*$es dado por

$$\mu^*(E) = \inf \left\{\sum_1^\infty \mu_0(A_j) : A_j \in \mathcal{A}, E \subset \bigcup_1^\infty A_j\right\}.$$

Luego pasa a reclamar la singularidad. La demostración del teorema invoca a Caratheodory, pero queda una cuestión pendiente. Voy a tratar de dejar mis pensamientos claros:

• Caratheodory nos da un espacio de medidas completas, esta estructura es grande.
• El teorema 1.14 tal como está escrito nos dice que podemos usar una premedida en un álgebra$\mathcal{A}$para generar una medida en el$\sigma$-álgebra generada por$\mathcal{A}$-- este$\sigma$-el álgebra no es necesariamente completa. De hecho, esto$\sigma$-el álgebra es solo el Borel$\sigma$-álgebra.
• Podemos completar el Borel$\sigma$-álgebra para obtener los conjuntos medibles de Lebesgue.

Sin embargo, es la finalización de la Borel$\sigma$-álgebra lo mismo que obtenemos simplemente aplicando el teorema de extensión de Caratheodory a la medida exterior de Lebesgue para obtener directamente un completo$\sigma$-¿álgebra? ¿O es esta una estructura "más grande" que la finalización del Borel$\sigma$-¿álgebra?