Pregunta 39 en Real Analysis de Folland capítulo 3

La pregunta "Si { F j } es una secuencia de funciones crecientes no negativas en [ a , b ] tal que F ( X ) = ∑ 1 ∞ F j ( X ) < ∞ " para todos X ∈ [ a , b ] , entonces F ′ ( X ) = ∑ 1 ∞ F ′ j ( X ) para ae X ∈ [ a , b ] . (Basta con suponer que F j ∈ norte B V . Considere las medidas m F j .)"

Por el teorema 3.23 página 101 en el mismo libro tiene sentido suponer que F j ∈ norte B V para todos j .

De hecho, tengo preguntas muy básicas: en primer lugar, ¿cómo se expresa la derivada de F? ¿Se nos permite escribirlo como: F ′ = yo i metro r → 0 m F ( mi r ) metro ( mi r ) dónde m F es la medida de Borel, m ( ( a , b ] ) = F ( b ) − F ( a ) , metro es la medida de Lebesgue, y mi r = ( X , X + h ] .

Después de eso considero escribir m F en términos de m F j 's y obtener la igualdad, pero parece muy incorrecto y no sirve de nada el hecho de que F j son no negativos.

Entonces, ¿alguien podría darme algunos consejos y aclaraciones?

Gracias.

Este es el teorema de Fubini sobre la diferenciación. Ver en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem_on_ differenceiation

Respuestas (1)

Este es el teorema de Fubini sobre la diferenciación . La prueba es la siguiente.

Usaremos el siguiente lema:

lema: si GRAMO : R → R es creciente, entonces ∫ a b GRAMO ′ ( t ) d t ≤ GRAMO ( b ) − GRAMO ( a ) .

(prueba). Tenga en cuenta que GRAMO es derivable ae y la derivada es positiva dondequiera que exista porque es creciente. Dejar C ∈ ( a , b ) . Por el lema de Fatou, tenemos

∫ a C GRAMO ′ ( t ) d t ≤ límite de información norte → ∞ ∫ a C GRAMO ( t + norte − 1 ) − GRAMO ( t ) norte − 1 d t = límite de información norte → ∞ ( ∫ C C + norte − 1 GRAMO ( t ) d t − ∫ a a + norte − 1 GRAMO ( t ) d t ) ⋅ norte ≤ límite de información norte → ∞ GRAMO ( C + norte − 1 ) − GRAMO ( a ) ≤ GRAMO ( b ) − GRAMO ( a ) .
Alquiler C → b (a través de una secuencia contable y aplicando MCT) da la desigualdad deseada. ◻

Ahora probamos la afirmación. Tenga en cuenta que F ′ ( X ) y F j ′ ( X ) existe para ae X ∈ [ a , b ] porque van en aumento. Si X es tal punto, entonces para cualquier norte tenemos F ′ ( X ) − ∑ j = 1 norte F j ′ ( X ) ≥ 0 (porque F − ∑ j = 1 norte F j = ∑ j = norte + 1 ∞ F j está aumentando) y por lo tanto F ′ ( X ) ≥ ∑ j = 1 ∞ F j ′ ( X ) . De este modo F ′ ≥ ∑ j = 1 ∞ F j ′ ae en [ a , b ] .

Por otro lado, nuestro lema implica que

∫ a b F ′ ( t ) d t = ∫ a b ∑ j = 1 norte F j ′ ( t ) d t + ∫ a b ( F − ∑ j = 1 norte F j ) ′ ( t ) d t ≤ ∫ a b ∑ j = 1 ∞ F j ′ ( t ) d t + ( F − ∑ j = 1 norte F j ) ( b ) − ( F − ∑ j = 1 norte F j ) ( a ) ,
así que dejar norte → ∞ da la desigualdad
∫ a b F ′ ( t ) d t ≤ ∫ a b ∑ j = 1 ∞ F j ′ ( t ) d t .
Porque F ′ ≥ ∑ j = 1 ∞ F j ′ ae y F ′ ∈ L 1 ( [ a , b ] , metro ) por el lema, esta desigualdad implica que F ′ = ∑ j = 1 ∞ F j ′ ae

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