¿Buscas un juego como el gordo juego de Cantor?

Question

¿Buscas un juego como el gordo juego de Cantor?

análisis
conjunto de cantor
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida
medida lebesgue

Principiante

Problema:

Asumir $0 < \epsilon < 1$ y $\mu_{\mathcal L}$ es la medida de Lebesgue. Encuentre un conjunto medible $A \subset [0, 1]$ tal que el cierre de $A$ es $[0, 1]$ y $\mu_{\mathcal L}(A) = \epsilon$ .

Mi intento:

Rápidamente comencé a leer sobre el conjunto gordo de Cantor, cuya característica esencial (que yo sepa) es que su medida puede ser cualquiera de esas $\epsilon$ . Pero creo que el defecto fatal es que el conjunto gordo de Cantor está cerrado, mientras que necesito un conjunto cuyo cierre sea $[0, 1]$ .

No sé dónde buscar una solución. ¿Puedo jugar con grandes conjuntos de Cantor y resolver este problema o necesito un enfoque fundamentalmente diferente?

Gracias.

adelante

¿Has intentado mirar el complemento de un conjunto gordo de Cantor?

Principiante

@fwd No, pero gracias por darme algo en lo que pensar.

david mitra

Puedes tomar cualquier subconjunto con medida

ϵ

$\epsilon$ y agregue los racionales restantes.

Principiante

Solo para que me quede claro, si tomo un grueso juego de Cantor de Lebesgue medida epsilon, digamos

C_{ϵ}

$C_{\epsilon}$ , y luego considere

C_{ϵ} \cup Q

$C_{\epsilon} \cup \mathbb Q$ (en

[0, 1]

$[0, 1]$ ), entonces al sumar los racionales no he cambiado la medida, y como los racionales son densos, el cierre tiene que ser

[0, 1]

$[0, 1]$ ? ¿Es eso correcto?

Principiante

Supongo que podría necesitar cambiar

Q

$\mathbb Q$ a

Q ∖ C_{ϵ}

$\mathbb Q \setminus C_{\epsilon}$ .

david mitra

Sí. Pero no es necesario ser tan sofisticado como para utilizar un juego de Cantor.

[0, ϵ]

$[0,\epsilon]$ servirá.

Principiante

Wow, supongo que estoy complicando demasiado esto. Entonces solo puedo usar

(0, ϵ) \cup (Q ∖ (0, ϵ))

$(0, \epsilon) \cup (\mathbb Q \setminus (0, \epsilon))$ . Gracias.

Respuestas (1)

¿Buscas un juego como el gordo juego de Cantor?

¿Has intentado mirar el complemento de un conjunto gordo de Cantor?
Puedes tomar cualquier subconjunto con medida $\epsilon$ y agregue los racionales restantes.
Solo para que me quede claro, si tomo un grueso juego de Cantor de Lebesgue medida epsilon, digamos $C_{\epsilon}$ , y luego considere $C_{\epsilon} \cup \mathbb Q$ (en $[0, 1]$ ), entonces al sumar los racionales no he cambiado la medida, y como los racionales son densos, el cierre tiene que ser $[0, 1]$ ? ¿Es eso correcto?
Supongo que podría necesitar cambiar $\mathbb Q$ a $\mathbb Q \setminus C_{\epsilon}$ .
Sí. Pero no es necesario ser tan sofisticado como para utilizar un juego de Cantor. $[0,\epsilon]$ servirá.
Wow, supongo que estoy complicando demasiado esto. Entonces solo puedo usar $(0, \epsilon) \cup (\mathbb Q \setminus (0, \epsilon))$ . Gracias.

xander henderson · Answer 1

El ejemplo más simple es algo como

A = [0, ε] \cup (q \cap [0, 1]) .

$A = [0,\varepsilon] \cup \left( \mathbb{Q} \cap [0,1] \right).$ Es decir, elija su conjunto de medidas favorito

ε

$\varepsilon$ , luego arroja los números racionales. Los racionales son densos en

R

$\mathbb{R}$ (y por lo tanto denso en

[0, 1]

$[0,1]$ ), pero tienen medida cero. De este modo

ε = m ([0, ε]) \leq m (A) \leq m ([0, ε]) + m (q) = ε + 0 = ε,

$\varepsilon = \mu([0,\varepsilon]) \le \mu(A) \le \mu([0,\varepsilon]) + \mu(\mathbb{Q}) = \varepsilon + 0 = \varepsilon,$ pero

\bar{A} = [0, 1]

$\overline{A} = [0,1]$ , que parece ser el resultado deseado.

Otro conjunto interesante es algo como lo siguiente:

Dejar $\{q_j\}_{j=1}^{\infty}$ Sea una enumeración de los números racionales en $[0,1]$ , arreglar $\varepsilon > 0$ , y deja
$B_{j} = B (q_{j}, ε 2^{- j - 1})$ $B_j = B(q_j, \varepsilon 2^{-j-1})$ denote la bola (abierta) de radio $2^{-j-1}$ (es decir, diámetro $2^{-j}$ ) centrado en $q_j$ . Llevar $A$ ser la unión de estas bolas, es decir $A = [0, 1] \cap ⋃_{j = 1}^{\infty} B_{j} .$ $A = [0,1] \cap \bigcup_{j=1}^{\infty} B_j.$ Obsérvese que, gracias a la subaditividad contable de la medida, la medida de $A$ está delimitado arriba por $\varepsilon$ : $m (A) = m (⋃_{j = 1}^{\infty} B_{j}) \leq \sum_{j = 1}^{\infty} m (B_{j}) = \sum_{j = 1}^{\infty} ε 2^{- j} = ε .$ $\mu(A) = \mu\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} B_j \right) \le \sum_{j=1}^{\infty} \mu(B_j) = \sum_{j=1}^{\infty} \varepsilon 2^{-j} = \varepsilon.$ Además, $A$ contiene todos los números racionales en $[0,1]$ , por lo que su cierre es $[0,1]$ .

Este ejemplo no cumple del todo con los requisitos del problema (realmente no podemos acotar la medida del conjunto desde abajo, ya que las bolas pueden superponerse o no estar completamente contenidas en $[0,1]$ ), pero es (creo) un ejemplo interesante de lo que puede suceder: este es un conjunto abierto que tiene una medida tan pequeña como queramos, que sin embargo es denso en $[0,1]$ .

Solo voy a tratar de verificar los detalles de esto, ya que soy un novato en la teoría de la medida, pero se ve bien. Gracias.

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david mitra

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xander henderson

Principiante

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