Función absolutamente continua usando sumas.

Question

Función absolutamente continua usando sumas.

Matemáticas
análisis real
teoría de la medida
medida lebesgue
continuidad-absoluta

matemáticas22813

A continuación se muestra un ejercicio de análisis de los exámenes de calificación del estado de Iowa y una solución que preparé para ello. Se la mostré a un amigo y parece muy descontento con el final de la prueba, aunque no veo nada malo en ello. ¿A alguien le importaría señalar si hay algún problema? ¡Se agradece mucho cualquier ayuda!

Suponer $\{E_n\}$ es una secuencia de subconjuntos medibles de Lebesgue de $\mathbb{R}$ con

\sum_{norte = 1}^{\infty} m ({mi}_{norte}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)<\infty$ Dejar

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} μ (E_{n} \cap [0, x])

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n\cap [0,x])$ . Pruebalo

f

$f$ es absolutamente continua en

[0, \infty)

$[0,\infty)$

Necesitamos mostrar lo siguiente: dado $\epsilon>0$ , existe alguna $\delta > 0$ de modo que

\sum_{k = 1}^{norte} | F (b_{k}) - F (a_{k}) | < ϵ cuando sea \sum_{k = 1}^{norte} (b_{k} - a_{k}) < d

$\sum_{k=1}^{N} |f(b_k) - f(a_k) | < \epsilon \quad \text{ whenever } \sum_{k=1}^{N} (b_k-a_k) < \delta$ y los intervalos

(a_{k}, b_{k})

$(a_k,b_k)$ formar una partición de

[0, \infty)

$[0,\infty)$ en intervalos disjuntos por parejas. Por suposición, existe un

n_{0} \geq 1

$n_0 \geq 1$ tal que

\sum_{n \geq n_{0}} μ (E_{n}) < ϵ / 2

$\sum_{n \geq n_0} \mu(E_n) < \epsilon/2$ . Dejar

x, y \in [0, \infty)

$x,y \in [0,\infty)$ ser tal que

x < y

$x<y$ . Por monotonicidad de la medida de Lebesgue, tenemos que

| F (y) - F (X) | = | \sum_{norte = 1}^{\infty} m ({mi}_{norte} \cap [0, y]) - \sum_{norte = 1}^{\infty} m ({mi}_{norte} \cap [0, X]) | \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} | m ({mi}_{norte} \cap [0, y]) - m ({mi}_{norte} \cap [0, X]) |

$|f(y) - f(x)| = \left| \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [0,y]) - \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [0,x] )\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(E_n \cap [0,y]) - \mu(E_n \cap [0,x])|$ Para cada

n \geq 1

$n \geq 1$ ,

E_{n} \cap [0, x] \subset E_{n} \cap [0, y]

$E_n \cap [0,x] \subset E_n \cap [0,y]$ , cada uno de los cuales tiene medida finita, y así

m ({mi}_{norte} \cap [0, y]) - m ({mi}_{norte} \cap [0, X]) = m (({mi}_{norte} \cap [0, y]) ∖ ({mi}_{norte} \cap [0, X])) = m ({mi}_{norte} \cap [X, y]),

$\mu(E_n \cap [0,y]) - \mu(E_n \cap [0,x]) = \mu ((E_n \cap [0,y]) \setminus (E_n \cap [0,x])) = \mu(E_n \cap [x,y]),$ para cada

n \geq 1

$n \geq 1$ ; en consecuencia, tenemos que

| F (y) - F (X) | \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} m ({mi}_{norte} \cap [X, y]) .

$|f(y) - f(x)| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [x,y]).$ Elegir

δ = ϵ / 2 n_{0}

$\delta = \epsilon/2n_{0}$ . Por monotonicidad de la medida de Lebesgue, vemos que

| F (y) - F (X) | \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} m ({mi}_{norte} \cap [X, y] \leq \sum_{norte = 1}^{{norte}_{0} - 1} m ({mi}_{norte} \cap [X, y] + \sum_{norte \geq {norte}_{0}} m ({mi}_{norte}) < m ({mi}_{norte} \cap [X, y] + ϵ / 2.

$|f(y) - f(x)| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [x,y] \leq \sum_{n=1}^{n_0-1} \mu(E_n \cap [x,y] + \sum_{n \geq n_0} \mu(E_n) < \mu(E_n \cap [x,y] + \epsilon/2.$ Finalmente, dada cualquier partición

{x_{k}, y_{k})}_{k = 1^{K}}

$\{x_k,y_k)\}_{k=1^K}$ de

[0, \infty)

$[0,\infty)$ en un intervalo disjunto por parejas con

\sum_{k = 1}^{K} (y_{k} - x_{k}) < δ

$\sum_{k=1}^{K} (y_k-x_k )< \delta$ . Entonces se sigue que

| F (y_{k}) - F (X_{k}) | < \sum_{norte = 1}^{{norte}_{0} - 1} m ({mi}_{norte} \cap [X_{k}, y_{k}]) + ϵ / 2 \leq \sum_{norte = 1}^{{norte}_{0} - 1} (y_{k} - X_{k}) < ϵ .

$| f(y_k) - f(x_k)| < \sum_{n=1}^{n_0-1} \mu(E_n \cap [x_k,y_k]) + \epsilon/2 \leq \sum_{n=1}^{n_0-1}( y_k-x_k )< \epsilon.$ Por eso,

\sum_{k = 1}^{k} | F (y_{k}) - F (X_{k}) | < k \cdot ϵ,

$\sum_{k=1}^{K} |f(y_k) - f(x_k)| < K \cdot \epsilon,$ completando la prueba.

TJ Gaffney

no concluyes

< ε

$<\varepsilon$ , concluyes

< K \cdot ε

$<K\cdot\varepsilon$ . Necesitas reelaborar esto, porque no puedes elegir un

δ

$\delta$ que varía con

K

$K$ , porque un solo

δ

$\delta$ necesita trabajar para todos. Sin embargo, puedes dejar

n_{0}

$n_0$ depender de

K

$K$ , así que creo que te mueves donde eliges tu

n_{0}

$n_0$ y aproveche el hecho de que puede sumar a través de los intervalos y aún así estar limitado por un solo total

δ

$\delta$ .

TJ Gaffney

También en un punto restas dos sumas infinitas restando término por término, pero esto necesita una pequeña justificación, porque en general, no puedes reorganizar sumas infinitas.

matemáticas22813

@Gaffney Ya veo. Ese era el punto de preocupación. Terminé mostrando que estaba acotado y Lipschitz se ocupó de la prueba. Lamentablemente, no estoy seguro de cómo corregir el problema.

Respuestas (1)

Función absolutamente continua usando sumas.

no concluyes $<\varepsilon$ , concluyes $<K\cdot\varepsilon$ . Necesitas reelaborar esto, porque no puedes elegir un $\delta$ que varía con $K$ , porque un solo $\delta$ necesita trabajar para todos. Sin embargo, puedes dejar $n_0$ depender de $K$ , así que creo que te mueves donde eliges tu $n_0$ y aproveche el hecho de que puede sumar a través de los intervalos y aún así estar limitado por un solo total $\delta$ .
También en un punto restas dos sumas infinitas restando término por término, pero esto necesita una pequeña justificación, porque en general, no puedes reorganizar sumas infinitas.
@Gaffney Ya veo. Ese era el punto de preocupación. Terminé mostrando que estaba acotado y Lipschitz se ocupó de la prueba. Lamentablemente, no estoy seguro de cómo corregir el problema.

zhw. · Answer 1

Sé que quieres que alguien revise tu prueba, pero eso es mucho mirar. Sugeriré un enfoque diferente: Brevemente, defina

gramo (X) = \sum_{norte = 1}^{\infty} x_{{mi}_{norte}} (X) .

$g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \chi_{E_n}(x).$

Espectáculo $g\in L^1(\mathbb R)$ y eso $f(x) = \int_0^x g\,d\mu.$ Es básico entonces que $f$ está encendido AC $\mathbb R.$

Función absolutamente continua usando sumas.

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TJ Gaffney

TJ Gaffney

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Respuestas (1)

zhw.

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