SU(N)SU(N)SU(N) Teoría de Yang-Mills

La teoría de Yang-Mills se basa en el grupo calibre$G$que tomamos por ser$SU(N)$. Considere un ejemplo;

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}-\sum_{j=1}^N\bar{\psi}_j(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi_j$$ dónde $\psi_j$es un espinor de Dirac en la representación fundamental.

A partir de aquí me centraré en álgebras, así que$\mathfrak{su}(N)$. Una representación de esto es un homomorfismo de álgebra de Lie$\rho:\mathfrak{su}(N)\rightarrow \mathfrak{gl}(V)$y$V$es un espacio vectorial.

Entiendo cómo funcionan las cosas en la representación fundamental, pero tengo problemas para ver cómo funciona cuando los campos de materia también están en la representación adjunta. En este caso, los campos ahora están representados por$N\times N$matrices también, y hay$N^2-1$generadores

Entonces, por ejemplo, si tengo un multiplete de campo escalar$\Phi$transformándose en la representación adjunta que tengo

$$\Phi=\phi^a T^a$$ dónde $T^a$son los generadores. Así que tengo $N^2-1$campos escalares $\phi^a$.

Pero en el caso de$\mathcal{N}=4$ $SU(N)$Super Yang Mills Tengo seis escalares. Entonces es fácil ver un campo multiplete de seis componentes que tiene el Lagrangiano$SO(6)$simetría, lo cual hace. Pero todos los campos aún se transforman en el representante adjunto de$SU(N)$. No veo cómo, por ejemplo, este multiplete de seis componentes puede transformarse bajo el representante adjunto. A menos, por supuesto, que cada componente de este multiplete sea ahora un campo que se transforma en el representante adjunto.

En este último caso, no entiendo cómo ampliar los campos. Ejemplo, toma uno de mis seis escalares,$\phi_i(x)$y ampliar$\phi_i^a(x)T^a$. Ahora cuales son los$\phi_i^a(x)$? La suposición sería escalares, pero eso significa que mi teoría en realidad tiene$6N^2-6$escalares en lugar de 6. Tal vez cuando decimos${\cal N}=4$SYM tiene 6 escalares, nos referimos a 6 multipletes de campo escalar que transforman el representante adjunto.

Larga historia corta; ¿Cómo se representan los campos de materia en el representante adjunto?