Debe tener mucho más cuidado con lo que denotan los índices "superior" e "inferior" y de dónde se originan. Discutiré los dos "tipos" diferentes de índices superior/inferior de los que está hablando:

índices de tensor

La primera fuente de "objetos con índices" es la geometría diferencial . En cualquier parche de coordenadas$U\subset M$de un múltiple$M$con coordenadas$q : U \to \mathbb{R}^n$, las propias coordenadas se escriben tradicionalmente con índices "superiores"$q^i$. En la variedad, ahora hay dos objetos estrechamente relacionados, aunque diferentes , que naturalmente queremos considerar: campos vectoriales y formas diferenciales . Una forma de definir el espacio tangente en un punto$q_0\in q(U)$(correspondiente a un punto$p\in U$como$q(p) = q_0$es como el espacio vectorial generado por las derivadas$\partial_i := \frac{\partial}{\partial q^i}\rvert_{q = q_0}$, cuyos índices se colocan tradicionalmente por debajo. El espacio cotangente es el espacio vectorial dual generado por la base dual$\mathrm{d}q^i$definido por$\mathrm{d}q^i (\partial_j) = \delta^i_j$.

Ahora, dado cualquier campo vectorial$V$, podemos expandirlo en la base como$V = v^i(q)\partial_i$para funciones$v^i$, donde la convención de suma está en efecto, es decir, sumamos sobre todos los valores posibles de$i$. Es el$v^i(q)$que es a lo que un físico se refiere como "vector". Bajo un cambio de coordenadas, estos componentes se transforman por la matriz jacobiana de la transformación de coordenadas. Por el contrario, podemos desarrollar una forma diferencial como$\omega = \omega_i(q) \mathrm{d}q^i$, y es el$\omega^i$que el físico suele llamar "la forma". Estas se transforman por la matriz jacobiana inversa. los vectores y covectores, así como las formas diferenciales y los campos vectoriales son, a priori, cosas completamente diferentes y deben concebirse como conceptos geométricos distintos.

Sin embargo, las aguas están confusas porque en física a menudo estamos en una variedad (pseudo-)Riemanniana con un tensor métrico$g$que define los llamados isomorfismos musicales entre vectores y covectores asociando la forma 1$g(v,-)$a un campo vectorial$v$. Una vez en esta configuración, podemos cambiar libremente el tipo de tensores y los conceptos originalmente distintos se vuelven totalmente equivalentes e intercambiables en los cálculos prácticos.

En este punto, me gustaría discrepar con cierta parte de la pregunta:

En la relatividad especial se introducen dos tipos de índices, covariante y contravariante. Esto es, según tengo entendido, es únicamente por lujo matemático, es decir, escribir expresiones en una notación concisa que se explica por sí misma. Por ejemplo, en lugar de escribir la métrica como$(Δs)^2=c^2(Δt)^2−(Δr)^2$uno puede escribir$x^μx_μ$que no solo es una notación compacta sino que también nos dice que esta expresión es invariante de Lorentz. Sino ambos$x^μ$y$x_μ$, representan los mismos objetos: un conjunto de cuatro coordenadas$(ct,x,y,z)$.

Aunque está muy cerca del uso en la práctica, formalmente no tiene sentido, precisamente porque los objetos geométricos no se consideran correctamente. Si$x^\mu$es un conjunto de coordenadas , entonces no existe tal cosa como$x_\mu$- no se puede bajar el índice de una coordenada porque no es un campo vectorial o tensorial, y por tanto el isomorfismo musical no está definido sobre ella. El tensor métrico codificado en$\mathrm{d} s^2$(o$\Delta s$, como escribe la pregunta) no actúa sobre coordenadas , actúa sobre vectores tangentes. La "distancia" entre dos puntos viene dada por el extremo de la función

$$L[\gamma] = \int_\gamma \sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})}\mathrm{d}\tau$$ para caminos $\gamma$entre los dos puntos. Dado que las líneas más cortas, es decir, las geodésicas, en el espacio de Minkowski son líneas rectas, sucede que en este caso especial la expresión para la distancia entre los puntos de coordenadas $x^\mu$y $0$se da actuando como si $x^\mu$es un vector y calculando su norma con el tensor métrico dado por el $\mathrm{d}s^2$expresión. Sin embargo, hacerlo directamente es formalmente incorrecto porque no se puede aplicar una métrica pseudo-riemanniana directamente a los puntos de esa manera. Entonces, en este caso, la pregunta es doblemente incorrecta: en principio, sí importa dónde se colocan los índices y ni siquiera puedes escribir algo como $x_\mu$para un conjunto de coordenadas.

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índices de grupo

El uso de índices en la teoría de grupos es completamente diferente y, a priori, no existe la noción de índices "superiores" o "inferiores". dado un grupo$G$y una representación$\rho : G \to \mathrm{GL}(V)$de algún espacio vectorial$V$, uno puede, por supuesto, elegir una base$v_i$de$V$y escribir cualquier elemento de grupo como una matriz$\rho(g)_{ij}$.

La noción de índices superior e inferior entra aquí para grupos donde todas o la mayoría de las representaciones irreducibles pueden construirse a partir de productos tensoriales de la representación fundamental: Se declara que los vectores en la representación fundamental tienen componentes con índices$v_i$y aquellos en la representación fundamental conjugada para tener componentes con$v^i$(o viceversa) y luego uno puede escribir$T^{\mu_1\dots\mu_m}_{\nu_1\dots\nu_n}$para denotar un elemento de$\bar{V}^{\otimes m}\otimes V^{\otimes n}$. Esta abreviatura es útil para luego deducir qué combinación de índices y su (anti-) simetrización corresponden a representaciones irreducibles, vea, por ejemplo, esta respuesta .

Nuevamente, los índices superior e inferior están relacionados, pero no denotan los mismos objetos, y señalan un comportamiento de transformación diferente bajo el grupo (los vectores fundamentales se transforman por$\rho(g)$mientras que los vectores anti-fundamentales se transforman por$\bar{\rho(g)}$), al igual que los índices en el caso geométrico señalan un comportamiento de transformación diferente bajo cambios de coordenadas.