Diferencia entre el producto cartesiano ××\times y el producto tensorial ⊗⊗\otimes en grupos

I) El punto principal es que generalmente solo consideramos productos tensoriales $V \otimes W$de espacios vectoriales $V$,$W$(a diferencia de los conjuntos generales $V$,$W$). Pero los grupos (digamos$G$,$H$) a menudo no son espacios vectoriales. Si solo consideramos productos tensoriales de espacios vectoriales, entonces el objeto$G \otimes H$es una tontería, matemáticamente hablando.

Con más suposiciones sobre los grupos$G$y$H$, a veces es posible definir un producto tensorial$G \otimes H$de grupos, cf. mi Phys.SE responde aquí y los enlaces allí.

II) Si$V$y$W$son dos espacios vectoriales, entonces el producto tensorial$V \otimes W$es de nuevo un espacio vectorial. También el producto directo o cartesiano$V\times W$de espacios vectoriales es isomorfo a la suma directa $V \oplus W$de espacios vectoriales, que es de nuevo un espacio vectorial.

De hecho, si$V$es un espacio de representación para el grupo$G$, y$W$es un espacio de representación para el grupo$H$, entonces tanto el producto tensorial$V\otimes W$y la suma directa$V\oplus W$son espacios de representación para el grupo de productos cartesianos$G\times H$.

(El espacio de representación de suma directa$V\oplus W\cong (V\otimes \mathbb{F}) \oplus(\mathbb{F}\otimes W)$para el grupo de productos cartesianos$G\times H$puede verse como una suma directa de dos$G\times H$espacios de representación, y es por tanto un concepto compuesto. Recuerde que cualquier grupo tiene una representación trivial .)

Esta interacción entre el producto tensorial$V\otimes W$y el producto cartesiano$G\times H$puede persuadir a algunos autores a usar la notación engañosa$G\otimes H$para el producto cartesiano$G\times H$. Desafortunadamente, esto sucede a menudo en la física y en la teoría de categorías .

III) En contraste con los grupos, tenga en cuenta que las álgebras de Lie (digamos$\mathfrak{g}$,$\mathfrak{h}$) son siempre espacios vectoriales, por lo que los productos tensoriales$\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{h}$de las álgebras de Lie tienen sentido. Sin embargo, debido a la exponenciación, normalmente es la suma directa $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$de álgebras de Lie que sea relevante. Si$\exp:\mathfrak{g}\to G$y$\exp:\mathfrak{h}\to H$denote mapas exponenciales , entonces$\exp:\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}\to G\times H$.