Condición libre de anomalías 2D para una teoría de calibre

La condición de cancelación de anomalía para la parte gravitacional de la anomalía quiral (despreciando las cargas de calibre) es simplemente que hay el mismo número de campos móviles a la izquierda y a la derecha.

$$N_L = N_R$$

que en tu caso es

$$3 N(1_L) + N(0_L) = 2 N(1/2_R),$$

dónde$N(R)$indica el número de campos (complejos) en cada representación. Los prefactores son las dimensiones (complejas) de los multipletes de calibre.

Para determinar la parte de calibre de la anomalía quiral, tenga en cuenta que el$SU(2)$El nivel de Chern-Simons puede determinarse a partir de su$U(1)$subgrupo, por lo que es equivalente a determinar el$U(1)$anomalía de calibre. Esta condición de cancelación de anomalía es

$$\sum_i q_i^2 = \sum_j q_j^2,$$

dónde$i$indexa los portadores de carga que se mueven a la izquierda y$j$indexa los portadores de carga que se mueven a la derecha.

El$SU(2)$triplete tiene una carga$+2$y un cargo$-2$portador, el doblete tiene un$+1$y un$-1$, y el singlete no tiene portadores de carga. Entonces la condición de cancelación de anomalía es

$$8 N(1_L) = 2 N(1/2_R).$$

Tenga en cuenta que esta técnica funciona para cualquier grupo de calibre compacto conectado, ya que los niveles de Chern-Simons están determinados por su toro máximo. Por lo tanto, la anomalía quiral en 1+1D siempre se reduce a un número de$U(1)$anomalías (más la parte gravitatoria) que deben ser comprobadas.