¿Por qué se supone que el grupo de calibre Yang-Mills es compacto y semisimple?

Como explican Lubos Motl y twistor59, una condición necesaria para la unitaridad es que el grupo de calibre Yang Mills (YM)$G$con el álgebra de Lie correspondiente$g$debe ser real y tener una forma bilineal asociativa/invariante positiva (semi)definida $\kappa: g\times g \to \mathbb{R}$, cf. la parte cinética de la acción de Yang Mills. La forma bilineal$\kappa$a menudo se elige para que sea (proporcional a) la forma de Matar , pero ese no tiene por qué ser el caso.

Si$\kappa$es degenerado, esto inducirá modos cero/simetrías de calibre adicionales, que tendrán que ser corregidos por calibre, disminuyendo así efectivamente el grupo de calibre$G$a un subgrupo más pequeño, donde la correspondiente (restricción de)$\kappa$no es degenerado.

Cuando$G$es semi-simple, la forma Matar correspondiente no es degenerada. Pero$G$no tiene que ser semi-simple. Recuérdese, por ejemplo, que$U(1)$por definición no es un simple grupo de Lie . Su forma de Asesinato es idénticamente cero. Sin embargo, tenemos las siguientes teorías de tipo YM:

1. QED con$G=U(1)$.

2. el modelo Glashow-Weinberg-Salam para la interacción electrodébil con$G=U(1)\times SU(2)$.

Le recomiendo que lea el capítulo 15.2 en "The Quantum Theory of Fields" Volumen 2 de Steven Weinberg , responde precisamente a su pregunta.

Aquí un breve resumen
En una teoría de calibre con generadores de álgebra que satisfacen

$$[t_\alpha,t_\beta]=iC^\gamma_{\alpha\beta}t_\gamma$$ se puede comprobar que el tensor de intensidad de campo $F^\beta_{\mu\nu}$se transforma de la siguiente manera $$\delta F^\beta_{\mu\nu}=i\epsilon^\alpha C^\beta_{\gamma\alpha} F^\gamma_{\mu\nu}$$ Queremos construir lagrangianos. Un término cinético de partículas libres debe ser una combinación cuadrática de $F^\beta_{\mu\nu}$y la invariancia de Lorentz y la conservación de la paridad restringen su forma a $$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}g_{\alpha\beta}F^\alpha_{\mu\nu}F^{\beta\mu\nu}$$ dónde $g_{\alpha\beta}$puede tomarse simétrico y debe tomarse real para que la densidad de Lagrange sea real también. El lagrangiano anterior debe ser invariante de calibre, por lo que debe satisfacer $$\delta\mathcal{L}=\epsilon^\delta g_{\alpha\beta}F^\alpha_{\mu\nu}C^\beta_{\gamma\delta}F^{\gamma\mu\nu}=0$$ para todos $\epsilon^\delta$. Con el fin de no imponer ninguna restricción funcional para las intensidades de campo $F$la matriz $g_{\alpha\beta}$debe satisfacer la siguiente condición $$g_{\alpha\beta}C^\beta_{\gamma\delta}=-g_{\gamma\beta}C^\beta_{\alpha\delta}$$ En resumen, el producto $g_{\alpha\beta}C^\beta_{\gamma\delta}$es antisimétrica en $\alpha$y $\gamma$.
Además, las reglas de cuantificación canónica y las propiedades de positividad del producto escalar mecánico cuántico requieren que la matriz $g_{\alpha\beta}$debe ser positivo-definido. Finalmente se puede probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. Existe una matriz definida positiva simétrica real$g_{\alpha\beta}$que satisface la condición de invariancia anterior.
2. Hay una base para el álgebra de Lie para la cual las constantes de estructura$C^\alpha_{\beta\gamma}$son antisimétricas no sólo en los índices inferiores$\beta$y$\gamma$pero en los tres índices$\alpha$,$\beta$y$\gamma$.
3. El álgebra de Lie es la suma directa de conmutar compacto simple y$U(1)$subálgebras.

La prueba de la equivalencia de estas afirmaciones, así como una presentación más detallada del material, se pueden encontrar en el libro antes mencionado de S. Weinberg.

Una demostración de la equivalencia de$g_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$(en realidad, la forma más común) fue dada por M. Gell-Mann y SL Glashow en Ann. física (Nueva York) 15 , 437 (1961)

Es porque quieres la parte cinética de la acción de Yang Mills.

$$\int Tr({\bf{F^2}}) dV$$ ser definido positivo. Para garantizar esto, el producto interno del álgebra de Lie que está utilizando (forma de matar) debe ser positivo definido. Esto está garantizado si el grupo de calibre es compacto y semi-simple. (No estoy seguro si es solo si G es compacto y semi simple. Tal vez alguien más podría completar este detalle).

Estas respuestas son repeticiones de un argumento que es insuficiente e incorrecto para explicar por qué la métrica del álgebra de mentira debe ser definida positiva.

De hecho, Weinberg nunca prueba su afirmación de que la cuantificación canónica y la unitaridad imponen el requisito de que la métrica sea definida positiva y un contraargumento se encuentra fácilmente en QED. Y nadie cuestiona la autoridad.

Después de fijar el calibre QED en el calibre Feynmann obtenemos$\partial_\mu A^\nu \partial^\mu A_\nu$. Podemos escribir esto con una métrica de espacio-tiempo (no la métrica de álgebra de mentiras) usando la convención$g=diag(-1,1,1,1)$. Entonces obtenemos$-\partial_\mu A_0\partial^\mu A_0+\partial_\mu A_i\partial^\mu A_i$. Por lo tanto, tiene términos cinéticos que son negativos. Sin embargo, es bien sabido (según el tratamiento BRST de QED) que, sin embargo, la teoría tiene unitaridad y se comporta bien.

Esto sucede también en la mecánica cuántica. el lagrangiano$-\dot x^2+x^2$se comporta tan bien como el HO habitual porque tienen las mismas ecuaciones de movimiento.

Ahora, puedes ver que tener lagrangianos con términos cinéticos negativos lleva a teorías consistentes. Por lo tanto, tener un álgebra de mentira SO(3,1) también conduce a una teoría que se comporte correctamente.

Luego les pido a los que repiten las escrituras que prueben, en lugar de repetir, que YM con SO(3,1) álgebra de mentira conduce a estados normativos negativos, pérdida de unitaridad u otras propiedades fundamentales que la hacen inadecuada para describir la naturaleza.