Propiedades de transformación de campo de indicador

Estoy un poco confundido acerca de las propiedades de transformación de calibre de los campos de calibre no abeliano, y solo quería alguna aclaración. Sigo viendo la declaración de que "los campos de calibre se transforman en la representación adjunta", pero tengo mis dudas.

Si tenemos una teoría con una simetría de calibre correspondiente a algún grupo de Lie simple y compacto$G$, luego definimos la derivada covariante de calibre$D_\mu$como:

$$D_\mu\equiv\partial_\mu-igA_\mu^aT^a$$

Dónde$T^a\in\mathfrak{g}$formar una base del álgebra de Lie$\mathfrak{g}$de$G$. Esta definición no asume ninguna representación de$T^a$, ya que éste viene determinado por la representación del campo sobre el que$D_\mu$hechos. Es decir, si tuviéramos un campo$\psi$que se transforma en alguna representación$\Pi$de un grupo de Lie simple y compacto$G$,$\psi\mapsto\Pi(g)\psi$, entonces tendríamos:

$$D_\mu\psi=\big(\partial_\mu-igA^a_\mu \pi(T^a)\big)\psi$$

Dónde$\pi(T^a)$es la representación correspondiente de$\mathfrak{g}$que induce la representación$\Pi(g)$después de exponenciar. En este caso, requerimos que la derivada covariante de calibre tenga las mismas propiedades de transformación de calibre que$\psi$, a saber$D_\mu\psi\mapsto\Pi(g)D_\mu\psi$para algunos$g\in G$. Esto significa que debemos tener:

$$D_\mu\mapsto\Pi(g)D_\mu\Pi^{-1}(g)$$

Pregunta 1) Sé que los objetos que se transforman en la representación adjunta se transforman como$x\mapsto gxg^{-1}$. Esto obviamente es muy similar a esta expresión, pero no creo que sean lo mismo. ¿Es entonces correcto decir en este caso que$D_\mu$transforma en la representación adjunta, o más bien que se transforma "juntamente" en$\psi$?

De la expresión$D_\mu\mapsto \Pi(g)D_\mu \Pi^{-1}(g)$encontramos:

$$A^a_\mu\pi(T^a)\mapsto \Pi(g)\Big(A^a_\mu\pi(T^a)+\frac{i}{g}\partial_\mu\Big)\Pi^{-1}(g)$$

Si consideramos$\Pi(g)=\exp\Big(i\alpha^a(x)\pi(T^a)\Big)$, entonces para una transformación infinitesimal podemos expandir a primer orden en$\alpha$encontrar:

$$A^a_\mu\mapsto f^{abc}A^b_\mu\alpha^c+\frac{1}{g}\partial_\mu\alpha^a$$

El primer término en esta expresión recuerda al representante adjunto del álgebra de Lie, entonces la Pregunta 2) ¿es a esto a lo que se refiere la gente cuando dice que el campo de medida se transforma en el adjunto?

Lo siento si hay errores o malentendidos evidentes, solo estoy tratando de entender la terminología (y posiblemente las matemáticas, quién sabe).