¿Cuántos colores hay realmente en QCD?

La carga de color es un término general que describe cómo se transforma una partícula bajo$SU(3)$transformaciones, es decir, cuál es su$SU(3)$representación.

Los términos rojo, verde y azul se refieren a la representación fundamental o definitoria de$SU(3)$que es tridimensional. Rojo, verde y azul se refieren a los tres vectores base en esta representación, denotados por$| r \rangle$,$| g \rangle$,$| b \rangle$. Esta es la representación en la que viven los quarks por lo que podemos asignar un color rojo, verde o azul a los quarks.

Los gluones viven en la representación adjunta que es de 8 dimensiones. No introducimos un "nuevo" sistema de color para la representación adjunta porque existe una maravillosa propiedad que le permite construir los 8 vectores base de la representación adjunta utilizando los 3 colores rojo, verde y azul de la representación fundamental. Explotamos la asombrosa propiedad (que se cumple para$SU(N)$en general),

$$F \otimes {\bar F} = A \oplus 1 \tag{1}$$ que establece que el producto tensorial de la representación fundamental y anti-fundamental (fundamental conjugada) se descompone en la representación adjunta y la representación trivial.

Más precisamente, los 9 vectores base en la LHS de (1) son

$$\begin{align} | r \rangle | {\bar r} \rangle , | r \rangle | {\bar g} \rangle , | r \rangle | {\bar b} \rangle \\ | g \rangle | {\bar r} \rangle , | g \rangle | {\bar g} \rangle , | g \rangle | {\bar b} \rangle \\ | b \rangle | {\bar r} \rangle , | b \rangle | {\bar g} \rangle , | b \rangle | {\bar b} \rangle \\ \end{align}$$ La representación adjunta se obtiene de esto eliminando la representación singlete (trivial) de lo anterior, lo que podemos hacer configurando $$| r \rangle | {\bar r} \rangle + | g \rangle | {\bar g} \rangle + | b \rangle | {\bar b} \rangle = 0 .$$ Esto da el total de 8 estados base en la representación adjunta. Esta es la representación en la que vive el gluón por lo que hay 8 gluones. Sin embargo, como decía, no introducimos 8 nuevos colores para describir estos gluones ya que simplemente podemos combinar los 3 colores fundamentales rojo, verde y azul.

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EDITAR - Permítanme explicar también la diferencia entre el$U(1)$caso y el$SU(3)$caso.$U(1)$es un grupo abeliano por lo que todas sus representaciones son unidimensionales. Para etiquetar la representación (también conocida como carga electromagnética), por lo tanto, solo necesita un número,$n$. Además desde$U(1)$es un grupo compacto, también debemos tener$n \in {\mathbb Z}$.

Por otro lado,$SU(3)$es un grupo no abeliano por lo que tiene muchos$k$representaciones dimensionales para$k > 1$. Dado un$k$representación dimensional, los estados en esa representación están etiquetados por$k$números,$a_1,\cdots,a_k$.

Un quark vive en la representación fundamental tridimensional, por lo que, en general, necesitamos 3 números para representar su estado. En general, un estado de quark es de la forma

$$| q \rangle = a_1 | r \rangle + a_2 | g \rangle + a_3 | b \rangle$$ Cuando decimos que un quark es rojo, queremos decir que tiene etiquetas$(a_1,a_2,a_3) = (1,0,0)$. Por supuesto, un quark en general puede estar en cualquier superposición de estados.

Un gluón está en la representación adjunta de 8 dimensiones, por lo que está etiquetado en general con 8 números.

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EDIT 2: Parece que no entendí bien la pregunta de OP. Parece que querían preguntar la similitud (o diferencia) entre las leyes de transformación abeliana y no abeliana.

En el caso abeliano, la ley de transformación es

$$\psi \to e^{ i \theta n } \psi$$ Aquí,$\theta$etiqueta el parámetro para la transformación y$n$etiqueta la representación bajo la cual$\psi$transforma (también conocido como su carga eléctrica).

En el caso no abeliano, la ley de transformación es

$$\psi \to e^{ i \theta^a T^a } \psi$$ Aquí$\theta^a$son los parámetros para la transformación (análoga a$\theta$en el$U(1)$caso) y los generadores$T^a$son los generadores en la representación bajo la cual$\psi$transforma (análogo a$n$en el$U(1)$caso).

Por ejemplo, si el grupo es$SU(2)$entonces

1. Si$\psi$se transforma en la representación trivial, entonces$T^a = 0$.

2. Si$\psi$se transforma en la representación fundamental, entonces$T^a = \frac{1}{2} \sigma^a$dónde$\sigma^a$son las matrices de Pauli.

3. Si$\psi$se transforma en la representación adjunta, entonces

   $$T^1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{array} \right) , \qquad T^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ \end{array} \right) , \qquad T^3 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) .$$

De manera similar, se pueden escribir todas las matrices para$SU(3)$también, pero es más largo, así que no me molestaré aquí (ver aquí ).

Para recalcar mi punto una vez más, la "carga" de cualquier partícula siempre corresponde a su representación bajo el grupo de simetría. Para el$U(1)$grupo, las representaciones están etiquetadas por un número entero$n$así que llamamos$n$la carga electrica En el caso no abeliano, las representaciones no se etiquetan con un solo número entero, por lo que el etiquetado no es tan simple. En este caso, simplemente damos un nombre a la representación. Usando este lenguaje, diríamos que la carga de color de un quark es "fundamental" y la carga de color de un gluón es "adjunta".

¡Dentro de una representación, hay muchos estados! De nuevo, en$U(1)$Las representaciones de casos son unidimensionales, por lo que cada representación contiene solo UN estado (único). Por lo tanto, aparte del número entero$n$no se requiere ninguna otra información para describir este estado.

En el caso no abeliano, las representaciones son de mayor dimensión, por lo que para describir el estado de la partícula, se necesita más información que solo su representación: necesitamos especificar el vector exacto. Entonces, la carga de color de un quark es "fundamental" y su estado de carga de color puede ser rojo, verde o azul (o superposición de los mismos).