Intersección de bucles de Wilson en 2D Yang-Mills

Considere las representaciones unitarias de dimensión finita$\alpha,\beta,\gamma$del grupo compacto dado$G$en espacios vectoriales correspondientes$V_1,V_2,V_3$. Dejar$|i\rangle_j,i=1,\dots,n_j$sea ​​una base ortonormal de$V_j$dónde$dim V_j=n_j$. Entonces$\{|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3\}$forma una base ortonormal de$V=V_1\otimes V_2 \otimes V_3$. Un elemento$g\in G$actúa sobre el espacio del producto tensorial$V$como

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3 \to \alpha(g) |i\rangle_1\otimes\beta(g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3 \tag 1$$

También podemos encontrar una base ortogonal$e_{\mu},\mu=1,\dots,N$(dónde$N=n_1n_2n_3$) de$V$con respecto al cual todos los elementos$g \in G$actúan como matrices diagonales de bloques. Más precisamente, supongamos con respecto a la base$\{e_{\mu}\}$, la acción de un elemento$g\in G$en$V$ser denotado como

$$e_{\mu}\to \rho (g)e_\mu \tag 2$$ entonces $\rho(g)^{\nu}_{\mu}=\langle \nu|\rho(g)|\mu\rangle$es una matriz diagonal de bloques donde las dimensiones de diferentes bloques $^1$son independientes de $g$. Dejar

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}e_{\mu}\tag 3$$

actuando con$g\in G$en ambos lados de esta ecuación da

$$\alpha (g)|i\rangle_1\otimes \beta (g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}\rho (g)e_{\mu} \tag 4$$

Tomando el producto escalar con$|i'\rangle_1\otimes |j'\rangle_2 \otimes |k'\rangle_3$y usando (3) obtenemos

$$\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu} \rho^{\nu}_{\mu}(g)\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}\tag 5$$

Ahora, de acuerdo con el teorema de Peter-Weyl (parte 2) , los elementos de la matriz de las representaciones irreducibles de$G$forman una base ortogonal del espacio de funciones cuadradas integrables en$G$escribir el producto interno

$$(A,B)=\int_G dg\; A(g)^{*}B(g) \tag 6$$

dónde$dg$es la medida de Haar. Entonces, si integramos ambos lados de (5), la contribución distinta de cero en RHS solo provendrá de la parte de$\rho$que es la suma directa de las representaciones de identidad. En otras palabras, deja$W\subseteq V$ser el subespacio de$V$en la que$G$actúa trivialmente, y deja$\{e_1,\dots e_m\}\subseteq$ $\{e_1,\dots e_m,\dots,e_N\}$ser la base de$W$, entonces la integración de (5) da

$$\int_G dg\;\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu =1}^{m} \delta^{\nu}_{\mu}\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}=\sum _{\mu =1}^{m}\epsilon^{*\mu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk} \tag 7$$

donde hemos supuesto que$Vol(G)=\displaystyle\int_G\; dg =1$

Para la segunda parte de su pregunta, recomendaría estas notas de clase . La idea básica para calcular los promedios de bucle de Wilson es la siguiente:

Para una superficie con límite, la función de partición de la teoría bidimensional de Yang-Mills depende de la holonomía a lo largo del límite. Sea la función de partición de una superficie de género$h$y un límite se denotará como$Z_h(U,ag^2)$dónde$U$es la holonomía fija a lo largo del límite dado,$a$es el área de la superficie y$g$es la constante de acoplamiento de Yang-Mills. Ahora, considere la situación más simple en la que un bucle de Wilson$W$en representación$R_W$se inserta a lo largo de un bucle contráctil$C$sobre una superficie cerrada de género$h$y área$a$. Para calcular el promedio del bucle de Wilson, primero cortamos la superficie a lo largo$C$, que da un disco$D$de área (digamos)$b$y otra superficie$S$de área$c=a-b$, género$h$y un límite. Ahora, el promedio del bucle de Wilson se obtiene integrando sobre$G$el producto de i) las funciones de partición de$D$ii) función de partición de$S$y iii) la traza del bucle de Wilson en representación$R_W$-

$$\langle W\rangle=\frac {1}{Z_h(ag^2)}\int \: dU \:Z_h(U,(a-b)g^2)\chi_{R_W}(U)Z_0(U^{-1},bg^2) \tag 8$$

El caso de un bucle de Wilson que se corta a sí mismo tampoco es muy diferente.

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$^1$Los bloques más pequeños forman representaciones irreductibles de$G$; Exactamente qué representaciones irreducibles aparecerán dependerá de$\alpha,\beta,\gamma$; Las mismas representaciones irreductibles también pueden aparecer más de una vez