SU(2)SU(2)SU(2) Yang-Mills MOE

Question

SU(2)SU(2)SU(2) Yang-Mills MOE

cuchillos

Tengo problemas con algunos índices en mi lagrangiano de yang-mills. tengo un grupo calibre $SU(2)$ y un tensor de intensidad de campo

F_{a b}^{i} = \partial_{a} A_{b}^{i} - \partial_{b} A_{a}^{i} + ϵ_{j k}^{i} A_{a}^{j} A_{b}^{k}

$F_{ab}^{i}=\partial_{a}A^{i}_{b}-\partial_{b}A^{i}_{a}+\epsilon^{i}_{\,\,jk}A^{j}_{a}A^{k}_{b}$ y un lagrangiano

L = - \frac{1}{4} F_{a b}^{i} F_{i}^{a b}

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{ab}^{i}F_{i}^{ab}$ Tengo al final del ejercicio que las EOM correctas son

\partial^{a} F_{a b}^{i} + ϵ_{k}^{i j} A_{j}^{a} F_{a b}^{k} = 0

$\partial^{a}F_{ab}^{i}+\epsilon^{ij}_{\;\;\;k}A^{a}_{j}F^{k}_{ab}=0$ Obtengo el primer término a la izquierda, pero el segundo término obtiene algo ligeramente diferente, en cambio, cuando golpeo el lagrangiano con

\partial L / \partial A_{a}^{i}

$\partial \mathcal{L}/\partial A_{a}^{i}$ consigo un termino

ϵ_{j k}^{i} A_{b}^{k} F_{i}^{a b}

$\epsilon^{i}_{\,\,jk} A_{b}^{k}F_{i}^{ab}$ que deja libre

j

$j$ índice. Ahora sé que los índices sumados no importan y puedo cambiar las letras libremente, pero el orden y la contracción sí importan, ahora no estoy seguro de cómo hacer que salga con índices coincidentes. Cuando lo hago

\partial_{a} \partial L / \partial (\partial_{a} A_{b}^{i})

$\partial_a \partial \mathcal{L}/\partial (\partial_{a}A_{b}^{i})$ salgo con lo tipico

\partial_{a} F_{i}^{a b}

$\partial_a F^{ab}_{i}$ pero mi índice libre existe

i

$i$ , no

j

$j$ , y no puedo hacer que coincidan por mi vida.

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david z · Answer 1

Sin ver los detalles de cómo está tomando la derivada, no puedo estar seguro, pero mi primer pensamiento es preguntarme si está haciendo un uso múltiple de los índices. Por ejemplo, suponga que toma la derivada con respecto a $A_a^i$ ; obtendrás

\frac{\partial L}{\partial A_{a}^{i}} = - \frac{1}{4} \frac{\partial}{\partial A_{a}^{i}} [F_{a b}^{i} F_{i}^{a b}] = - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{a b}^{i}}{\partial A_{a}^{i}} F_{i}^{a b} - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{i}^{a b}}{\partial A_{a}^{i}} F_{a b}^{i}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a^i} = -\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial A_a^i}\bigl[F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i} F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}\bigr] = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}$

En proceso de evaluación $\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}$ , los índices del numerador no se contraen con los del denominador, pero será fácil pasarlo por alto si no tienes los colores para distinguirlos.

Sugeriría que cuando etiquete el campo con el que está diferenciando, use índices que no aparecen en ninguna parte del Lagrangiano, como este:

\frac{\partial L}{\partial A_{C}^{norte}} = - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{a b}^{i}}{\partial A_{C}^{norte}} F_{i}^{a b} - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{i}^{a b}}{\partial A_{C}^{norte}} F_{a b}^{i}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_c^n} = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{ab}^{i}}{\partial A_c^n}F_{i}^{ab} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{i}^{ab}}{\partial A_c^n}F_{ab}^{i}$

Entonces no hay peligro de contraer accidentalmente los índices incorrectos. Cuando llegue al nivel de diferenciar campos individuales, terminará con algunos deltas de Kronecker,

\frac{\partial A_{a}^{i}}{\partial A_{C}^{norte}} = d_{a}^{C} d_{norte}^{i}

$\frac{\partial A_a^i}{\partial A_c^n} = \delta_a^c \delta_n^i$

Si está diferenciando un campo contravariante, puede usar la métrica para aumentar y disminuir los índices según sea necesario.

\frac{\partial A_{i}^{a}}{\partial A_{C}^{norte}} = \frac{\partial}{\partial A_{C}^{norte}} d_{i metro} {gramo}^{a d} A_{d}^{metro} = {gramo}^{a C} d_{i norte}

$\frac{\partial A_i^a}{\partial A_c^n} = \frac{\partial}{\partial A_c^n}\delta_{im}g^{ad}A_d^m = g^{ac} \delta_{in}$

$\delta_{im}$ es la métrica para $SU(2)$ espacio de configuración, si no recuerdo mal.

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cuchillos

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david z

cuchillos

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