Carga topológica conservada para d=3 Yang-Mills. G=U(2)

Question

Carga topológica conservada para d=3 Yang-Mills. G=U(2)

Federico Carta

Considere una densidad lagrangiana pura de Yang-Mills

L = - \frac{1}{4} F_{a}^{m v} F_{m v}^{a}

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}_aF^a_{\mu\nu}$ con grupo de calibre

U (2)

$U(2)$ .

Tome los generadores para $U(2)$ ser $t_0$ , $t_i \ i=1,...,3$ con relaciones de conmutación dadas por

[t_{0}, t_{i}] = 0

$[t_0,t_i]=0$

[t_{i}, t_{j}] = i ϵ_{i j k} t_{k}

$[t_i,t_j]=i\epsilon_{ijk}t_k$ En particular

t_{0}

$t_0$ es el generador de la

u (1)

$\mathfrak{u(1)}$ factor en la expansión

u (2) ≃ u (1) \times s u (2)

$\mathfrak{u(2)}\simeq \mathfrak{u(1)}\times \mathfrak{su(2)}$ y

t_{i}

$t_i$ son los generadores del Álgebra de Mentira

s u (2)

$\mathfrak{su(2)}$ .

Ahora en $d=3$ la fuerza de campo Hodge-dual es una corriente $j^{\mu}:=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho}F_{\nu\rho}$ y se conserva en virtud de la Identidad Bianchi.

Las preguntas son:

1) ¿Qué quiere decir cuando dicen que la corriente se conserva? ¿Se conserva covariantemente (es decir, $D_{\mu}j^{\mu}$ =0) o simplemente conservado (es decir $\partial_{\mu}j^{\mu}=0$ )

2) ¿Tengo solo un vector de corriente o uno para cada generador del grupo de calibre? (es decir, 4 en este caso)

3) ¿Puede realizar explícitamente el cálculo de la corriente y la carga conservadas?

4) Se me pide que indique si la carga conservada surge por el factor $U(1)$ del grupo gauge (que tiene un álgebra generada por $t_0$ ), debido al factor $U(1)$ que es la subálgebra cartan de $SU(2)$ (generado por $t_3$ ), o porque ambos. [Realmente no entiendo esta pregunta, ¿qué responderías? Gracias.]

La parte del cálculo que hice es la siguiente.

F_{m v}^{0} = \partial_{m} A_{v}^{0} - \partial_{v} A_{m}^{0}

$F^0_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^0_{\nu}-\partial_{\nu}A^0_{\mu}$

F_{m v}^{i} = \partial_{m} A_{v}^{i} - \partial_{v} A_{m}^{i} + gramo ϵ^{i j k} A_{m}^{j} A_{v}^{k}

$F^i_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^i_{\nu}-\partial_{\nu}A^i_{\mu}+g\epsilon^{ijk}A_{\mu}^jA^k_{\nu}$

Por lo tanto usando Bianchi tengo

0 = D_{m} ϵ^{m v ρ} F_{v ρ}^{0} = (\partial_{m} - i gramo A_{m}) ϵ^{m v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{0} - \partial_{ρ} A_{v}^{0})

$0=D_\mu\epsilon^{\mu\nu\rho}F^0_{\nu\rho}=(\partial_{\mu}-igA_{\mu})\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^0_{\rho}-\partial_{\rho}A^0_{\nu})$

mientras que para el otro lado

0 = D_{m} ϵ^{m v ρ} F_{v ρ}^{i} = (\partial_{m} - i gramo A_{m}) ϵ^{m v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{i} - \partial_{ρ} A_{v}^{i} + gramo ϵ^{i j k} A_{m}^{j} A_{v}^{k})

$0=D_\mu\epsilon^{\mu\nu\rho}F^i_{\nu\rho}=(\partial_{\mu}-igA_{\mu})\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^i_{\rho}-\partial_{\rho}A^i_{\nu}+g\epsilon^{ijk}A_{\mu}^jA^k_{\nu})$

¿Qué puedo hacer desde aquí? Me parece que las corrientes

j_{0}^{m} = ϵ^{m v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{0} - \partial_{ρ} A_{v}^{0})

$j^{\mu}_0=\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^0_{\rho}-\partial_{\rho}A^0_{\nu})$ y

j_{i}^{m} = ϵ^{m v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{i} - \partial_{ρ} A_{v}^{i} + gramo ϵ^{i j k} A_{v}^{j} A_{ρ}^{k})

$j^{\mu}_i=\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^i_{\rho}-\partial_{\rho}A^i_{\nu}+g\epsilon^{ijk}A_{\nu}^jA^k_{\rho})$

ambas se conservan covariantemente...

Muchas gracias por las respuestas y aclaraciones.

Federico Carta

Este artículo explica en las primeras páginas por qué la corriente se conserva en el caso de d=3 QED (que es U(1) Yang-Mills) pero sigue siendo bastante diferente...

Vibert

Nos está pidiendo que hagamos todo el trabajo sin hacer un esfuerzo usted mismo. Para 1), escribes que la corriente se conserva debido a la identidad de Bianchi. Pero en la siguiente oración nos pides probar la conservación de la corriente. 2) es realmente material de libro de texto. Es lo mismo que preguntar si solo hay un "gluon"

A_{μ}

$A_\mu$ o varios. 3.) es también una pregunta de libro de texto. Muchos de nosotros conocemos la respuesta, pero es una pérdida de tiempo anotar todos estos cálculos si se realizan en todos los libros de texto de QFT, por ejemplo, Peskin-Schroeder (el capítulo sobre teorías de calibre no abelianas).

Federico Carta

He hecho un esfuerzo. He hecho parte del cálculo (hasta donde puedo llegar) pero no puedo llegar a la respuesta correcta. Puedo publicarlo si quieres, o no lo creas, primero probé y luego pregunté. También he mirado a Peskin-Schroeder pero no hay nada similar a esto en todo el libro. Solo tratan Yang Mills ordinarios en 4 dimensiones, y no en d=3. Si realmente es material de libro de texto, ¿podría sugerir un libro en el que traten a Yang-Mills en d=3? Yo creo que hay 4 corrientes diferentes, pero luego no entiendo el punto 4).

Vibert

Bueno, la única diferencia entre

S U (3)

$SU(3)$ y su caso realmente radica en las constantes de estructura, ¿correcto? A su vez, aparecen en la expresión para

F_{μ ν} .

$F_{\mu \nu}.$ Trate de anotar (si aún no lo ha hecho) las diferentes

j_{μ}^{a}

$j_\mu^a$ en términos de las constantes de estructura. Además, en general, si ha realizado algún trabajo, siempre debe publicarlo; esto ayuda a las personas a ver qué está mal y dónde necesita algunos consejos.

Federico Carta

Correcto. La única diferencia está en las constantes de estructura. Publicaré lo antes posible el cálculo que hice. He calculado las cuatro corrientes y obviamente son diferentes, pero ninguna de ellas se conserva simplemente. ¿Es posible? ¿Y cómo se puede definir una carga conservada sin una ecuación de continuidad ordinaria? ¿Es posible que una combinación lineal sobre la corriente asociada a

t_{0}

$t_0$ y la corriente asociada a

t_{3}

$t_3$ simplemente se conserva, respondiendo así a 4) que "la carga conservada" surge de ambos factores U(1)?

Trimok

@FedericoCarta: Sugerencias: de las identidades de Wiki y Bianchi (puede reemplazar explícitamente los índices

μ, ν, ρ

$\mu,\nu,\rho$ , etc. por

1, 2, 3

$1,2,3$ si te queda más claro), tienes la ecuación de "conservación" de tu corriente dual. Mira la diferencia entre

f^{o i j}

$f^{oij}$ y

f^{i j k}

$f^{ijk}$ , y verás la diferencia entre "conservación" de

j_{0}^{μ}

$j^\mu_0$ y "conservación" de

j_{i}^{μ}

$j^\mu_i$

Federico Carta

f^{0 i j} = 0 \forall i, j

$f^{0ij}=0 \ \forall \ i,j$ mientras

f^{i j k} = ϵ^{i j k}

$f^{ijk}=\epsilon^{ijk}$ . Tengo esto, y tengo que la Identidad de Bianchi para

F_{μ ν}^{0}

$F^0_{\mu\nu}$ es por supuesto diferente al de

F_{μ ν}^{i}

$F^i_{\mu\nu}$ ,pero aún no entiendo si se conservan simple o covariantemente. En unos minutos publicaré todos los cálculos que hice

Trimok

@FedericoCarta: Sugerencias: para cada matriz

X = X^{a} T_{a}

$X= X^aT_a$ , la definición de

" D_{μ} X "

$"D_\mu X"$ o

" [D_{μ}, X] "

$"[D_\mu,X]"$ (una notación, por ejemplo, utilizada en las identidades de Bianchi) es

D_{μ} X = [D_{μ}, X] = \partial_{μ} X - i g [A_{μ}, X]

$D_\mu X = [D_\mu,X] = \partial_\mu X -ig [A_\mu, X]$ (ver por ejemplo fórmulas

4.29, 4.30

$4.29, 4.30$ en este trabajo ). No es necesario tener una expresión detallada para el

j^{μ}

$j^\mu$ , simplemente use la definición de la

j^{μ}

$j^\mu$ en función de la

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$

Federico Carta

ϵ^{μ ν ρ} D_{μ} F_{ν ρ} = ϵ^{μ ν ρ} \partial_{μ} F_{ν ρ} + ϵ^{μ ν ρ} [A_{μ}^{a} t_{a}, F_{ν ρ}^{b} t_{b}] = ϵ^{μ ν ρ} \partial_{μ} F_{ν ρ} + ϵ^{μ ν ρ} f^{a b c} A_{μ}^{a} F_{ν ρ}^{b}

$\epsilon^{\mu\nu\rho}D_{\mu} F_{\nu\rho}=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}[A^a_{\mu} t_a,F^b_{\nu\rho}t_b]=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}f^{abc}A^a_{\mu}F^b_{\nu\rho}$ y por lo tanto para

b = 0

$b=0$ (que es la corriente asociada a

t_{0}

$t_0$ ) Tengo que simplemente se conserva. Mientras que para

b = i i = 1, 2.3

$b=i \quad i=1,2.3$ no se conserva simplemente sino covariantemente. Por lo tanto, puedo responder a la pregunta 4) diciendo que la carga topológica conservada surge del factor

U (1)

$U(1)$ del grupo de indicadores y no del

U (1)

$U(1)$ generado por

t_{3}

$t_3$ ?!

Respuestas (1)

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Este artículo explica en las primeras páginas por qué la corriente se conserva en el caso de d=3 QED (que es U(1) Yang-Mills) pero sigue siendo bastante diferente...
Nos está pidiendo que hagamos todo el trabajo sin hacer un esfuerzo usted mismo. Para 1), escribes que la corriente se conserva debido a la identidad de Bianchi. Pero en la siguiente oración nos pides probar la conservación de la corriente. 2) es realmente material de libro de texto. Es lo mismo que preguntar si solo hay un "gluon" $A_\mu$ o varios. 3.) es también una pregunta de libro de texto. Muchos de nosotros conocemos la respuesta, pero es una pérdida de tiempo anotar todos estos cálculos si se realizan en todos los libros de texto de QFT, por ejemplo, Peskin-Schroeder (el capítulo sobre teorías de calibre no abelianas).
He hecho un esfuerzo. He hecho parte del cálculo (hasta donde puedo llegar) pero no puedo llegar a la respuesta correcta. Puedo publicarlo si quieres, o no lo creas, primero probé y luego pregunté. También he mirado a Peskin-Schroeder pero no hay nada similar a esto en todo el libro. Solo tratan Yang Mills ordinarios en 4 dimensiones, y no en d=3. Si realmente es material de libro de texto, ¿podría sugerir un libro en el que traten a Yang-Mills en d=3? Yo creo que hay 4 corrientes diferentes, pero luego no entiendo el punto 4).
Bueno, la única diferencia entre $SU(3)$ y su caso realmente radica en las constantes de estructura, ¿correcto? A su vez, aparecen en la expresión para $F_{\mu \nu}.$ Trate de anotar (si aún no lo ha hecho) las diferentes $j_\mu^a$ en términos de las constantes de estructura. Además, en general, si ha realizado algún trabajo, siempre debe publicarlo; esto ayuda a las personas a ver qué está mal y dónde necesita algunos consejos.
Correcto. La única diferencia está en las constantes de estructura. Publicaré lo antes posible el cálculo que hice. He calculado las cuatro corrientes y obviamente son diferentes, pero ninguna de ellas se conserva simplemente. ¿Es posible? ¿Y cómo se puede definir una carga conservada sin una ecuación de continuidad ordinaria? ¿Es posible que una combinación lineal sobre la corriente asociada a $t_0$ y la corriente asociada a $t_3$ simplemente se conserva, respondiendo así a 4) que "la carga conservada" surge de ambos factores U(1)?
@FedericoCarta: Sugerencias: de las identidades de Wiki y Bianchi (puede reemplazar explícitamente los índices $\mu,\nu,\rho$ , etc. por $1,2,3$ si te queda más claro), tienes la ecuación de "conservación" de tu corriente dual. Mira la diferencia entre $f^{oij}$ y $f^{ijk}$ , y verás la diferencia entre "conservación" de $j^\mu_0$ y "conservación" de $j^\mu_i$
$f^{0ij}=0 \ \forall \ i,j$ mientras $f^{ijk}=\epsilon^{ijk}$ . Tengo esto, y tengo que la Identidad de Bianchi para $F^0_{\mu\nu}$ es por supuesto diferente al de $F^i_{\mu\nu}$ ,pero aún no entiendo si se conservan simple o covariantemente. En unos minutos publicaré todos los cálculos que hice
@FedericoCarta: Sugerencias: para cada matriz $X= X^aT_a$ , la definición de $"D_\mu X"$ o $"[D_\mu,X]"$ (una notación, por ejemplo, utilizada en las identidades de Bianchi) es $D_\mu X = [D_\mu,X] = \partial_\mu X -ig [A_\mu, X]$ (ver por ejemplo fórmulas $4.29, 4.30$ en este trabajo ). No es necesario tener una expresión detallada para el $j^\mu$ , simplemente use la definición de la $j^\mu$ en función de la $F_{\mu\nu}$
$\epsilon^{\mu\nu\rho}D_{\mu} F_{\nu\rho}=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}[A^a_{\mu} t_a,F^b_{\nu\rho}t_b]=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}f^{abc}A^a_{\mu}F^b_{\nu\rho}$ y por lo tanto para $b=0$ (que es la corriente asociada a $t_0$ ) Tengo que simplemente se conserva. Mientras que para $b=i \quad i=1,2.3$ no se conserva simplemente sino covariantemente. Por lo tanto, puedo responder a la pregunta 4) diciendo que la carga topológica conservada surge del factor $U(1)$ del grupo de indicadores y no del $U(1)$ generado por $t_3$ ?!

Trimok · Answer 1

Con $X= X^at_a$ , tenemos la siguiente notación: $D_\mu X = [D_\mu,X] = \partial_\mu X -ig [A_\mu, X]$

Las identidades de Bianchi se escriben:

\begin{matrix} (1) & D_{λ} F_{m v} + D_{v} F_{λ m} + D_{m} F_{v λ} = 0 \end{matrix}

$D_\lambda F_{\mu\nu} + D_\nu F_{\lambda\mu} + D_\mu F_{\nu\lambda} = 0 \tag{1}$ podemos elegir

λ, μ, ν = 0, 1, 2

$\lambda, \mu, \nu = 0,1,2$ , entonces tenemos :

\begin{matrix} (2) & D_{0} F_{12} + D_{2} F_{01} + D_{1} F_{20} = 0 \end{matrix}

$D_0 F_{12} + D_2 F_{01} + D_1 F_{20} = 0 \tag{2}$

De la definición de $j$ , tenemos :

\begin{matrix} (3) & j^{0} = F_{12}, j^{1} = F_{20}, j^{2} = F_{01} \end{matrix}

$j^0=F_{12}, j^1=F_{20}, j^2=F_{01}\tag{3}$

De $(2)$ y $3$ , obtenemos :

\begin{matrix} (4) & D_{m} j^{m} = D_{0} j^{0} + D_{1} j^{1} + D_{2} j^{2} = 0 \end{matrix}

$D_\mu j^\mu = D_0j^0+D_1j^1 +D_2j^2 = 0\tag{4}$

Eso es :

\begin{matrix} (5) & \partial_{m} j^{m} - i gramo [A_{m}, j^{m}] = 0 \end{matrix}

$\partial_\mu j^\mu - ig[A_\mu, j^\mu]=0\tag{5}$

Ahora, podemos mirar el $U(2)$ coordenadas $(j^\mu)^a$ de $j^\mu$ , obtenemos :

\begin{matrix} (6) & \partial_{m} (j^{m})^{a} + gramo F^{a b C} (A_{m})_{b} (j^{m})_{C} = 0 \end{matrix}

$\partial_\mu (j^\mu)^a +gf^{abc}(A_\mu)_b (j^\mu)_c=0\tag{6}$ Lo sabemos

f^{0 b c} = 0

$f^{0bc}=0$ (porque

[t_{0}, t_{b}] = 0

$[t_0,t_b]=0$ para

b = 1, 2, 3

$b=1,2,3$ ), por lo que obtenemos:

\begin{matrix} (7) & \partial_{m} (j^{m})^{0} = 0 \end{matrix}

$\partial_\mu (j^\mu)^0 =0\tag{7}$

Vemos que la corriente $(j^\mu)^0$ se conserva, y esto corresponde a una carga conservada $Q^0 = \int d^2x (j^0)^0(x)$ . el conservado $Q^0$ cargo proviene de la $U(1)$ generador $t_0$ , que conmuta con el $SU(2)$ generadores $t_1,t_2,t_3$

Las otras corrientes $(j^\mu)^i$ , $i=1,2,3$ no se conservan, porque la $SU(2)$ generadores $t_1,t_2,t_3$ no conmutan consigo mismos, por ejemplo, tenemos $\partial_\mu (j^\mu)^1 +g(A_\mu)_2 (j^\mu)_3=0$ (+ permutaciones cíclicas).

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Trimok

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