Variación de la acción de Maxwell con respecto a la de vierbein - Teoría de Einstein-Cartan

Estoy usando la referencia "Differential Geometry, Gauge Theories and Gravity" de M. Göckeler y T. Schücker y tengo problemas para variar correctamente el lagrangiano

L METRO = 1 2 gramo 2 F ∧ ∗ F

con respecto a la vierbein mi a para encontrar la energía-momento de la acción de Maxwell.

Haciendo mi → mi + F en el lagragiano de arriba encuentro

L [ mi + F ] METRO − L [ mi ] METRO = 1 gramo 2 F C ( 1 4 F a b ϵ a b C d mi d ∧ F + 1 2 F C b mi b ∧ ∗ | mi F ) .

Sin embargo, la respuesta correcta, presente en la referencia anterior es

L [ mi + F ] METRO − L [ mi ] METRO = 1 gramo 2 F C ( 1 4 F a b ϵ a b C d mi d ∧ F − 1 2 F C b mi b ∧ ∗ | mi F ) .

(la única diferencia es el signo menos en la expresión dentro de los paréntesis)

Trabajé mucho, pero no pude identificar mi error. Entonces, ¿alguien sabe algo que no sea baladí en el trato con las formas en este caso?

(En este caso la firma utilizada es lorentziana)

Todo el cálculo que hice fue el siguiente:

Desde

L METRO [ mi ] = 1 2 gramo 2 F ∧ ∗ F = 1 2 gramo 2 [ 1 2 F a b mi a ∧ mi b ∧ ( 1 4 F α β ϵ α β C d mi C ∧ mi d ) ] = 1 dieciséis gramo 2 ( F a b F α β ϵ α β C d mi a ∧ mi b ∧ mi C ∧ mi d )

Entonces, al hacer mi → mi + F , y despreciando los términos cuadráticos en F , nos llevan a

L METRO [ mi + F ] − L METRO [ mi ] = 1 dieciséis gramo 2 F a b F α β ϵ α β C d ( F a ∧ mi b ∧ mi C ∧ mi d + mi a ∧ F b ∧ mi C ∧ mi d + mi a ∧ mi b ∧ F C ∧ mi d + mi a ∧ mi b ∧ mi C ∧ F d ) = 1 dieciséis gramo 2 F a b F α β ϵ α β C d ( 2 F a ∧ mi b ∧ mi C ∧ mi d + 2 mi a ∧ mi b ∧ F C ∧ mi d ) = 1 8 gramo 2 F a b F α β ϵ α β C d ( F a ∧ mi b ∧ mi C ∧ mi d + mi a ∧ mi b ∧ F C ∧ mi d ) = 1 2 gramo 2 ( 1 4 F a b F α β ϵ α β C d F a ∧ mi b ∧ mi C ∧ mi d + 1 4 F a b F α β ϵ α β C d mi a ∧ mi b ∧ F C ∧ mi d ) = 1 2 gramo 2 [ F a ∧ ( 1 4 F a b F α β ϵ α β C d ) mi b ∧ mi C ∧ mi d + F C ∧ ( 1 4 F a b F α β ϵ α β C d ) mi a ∧ mi b ∧ mi d ] = 1 2 gramo 2 [ F a ∧ ( 1 4 F a b F α β ϵ α β C d ) mi b ∧ mi C ∧ mi d + F a ∧ ( 1 4 F C b F α β ϵ α β a d ) mi C ∧ mi b ∧ mi d ]

Y entonces, tenemos

L METRO [ mi + F ] − L METRO [ mi ] = 1 2 gramo 2 F a ∧ [ ( 1 4 F a b F α β ϵ α β C d ) mi b ∧ mi C ∧ mi d + ( 1 4 F C b F α β ϵ α β a d ) mi C ∧ mi b ∧ mi d ] = 1 2 gramo 2 F a ∧ [ F a b mi b ∧ ∗ | mi F + ( 1 2 F α β ϵ α β a d ) F ∧ mi d ] = 1 2 gramo 2 F a ∧ [ F a b mi b ∧ ∗ | mi F + ( 1 2 F α β ϵ α β a d ) mi d ∧ F ]

Reetiquetando los índices, finalmente tenemos

L METRO [ mi + F ] − L METRO [ mi ] = 1 gramo 2 F C ∧ [ 1 2 F C b mi b ∧ ∗ | mi F + ( 1 4 F a b ϵ a b C d ) mi d ∧ F ] = 1 gramo 2 F C ∧ [ ( 1 4 F a b ϵ a b C d ) mi d ∧ F + 1 2 F C b mi b ∧ ∗ | mi F ]

Esto no está de acuerdo con la referencia debido al signo más (debería ser un menos) y, nuevamente, no pude identificar dónde hice algo mal.

No sé qué paso te falta. De (5.74) a (5.75) es sencillo. ¿Obtuviste (5.74) igual que en el libro.
Creo L [ mi + F ] METRO − L [ mi ] METRO = 1 gramo 2 F C ∧ ( 1 4 F a b ϵ a b C d mi d ∧ F − 1 2 F C b mi b ∧ ∗ | mi F ) . es mas correcto
He editado la publicación para incluir el cálculo que hice (me resultó más fácil no seguir estrictamente la Identidad y el cálculo del libro).

Respuestas (2)

Entiendo la notación en el libro de esta manera.

mi a ∧ mi b ∧ ⋆ | mi F ≡ mi a ∧ mi b ∧ ⋆ F = F ∧ ⋆ ( mi a ∧ mi b ) = ⋆ ( mi a ∧ mi b ) ∧ F .
Ahora, en la definición más precisa de Hodge dual (en la prueba a partir de la definición hay un paso de voltear los índices para obtener un resultado más simétrico, pero no los volteamos aquí, al principio) tenemos
⋆ ( F a ∧ mi b ) = 1 2 ϵ a b C d F C ∧ mi d .
En el caso de ⋆ ( mi ∧ mi ) , no hay problemas para voltear los índices
1 2 ϵ a b C d mi C ∧ mi d = 1 2 ϵ a b C d mi C ∧ mi d .
Pero en el caso de ⋆ ( F ∧ mi ) tenemos
⋆ ( F a ∧ mi b ) = 1 2 ϵ a b C d F C ∧ mi d = 1 2 ϵ a b mi F η C mi η F d F C ∧ mi d = 1 2 ϵ a b mi F η C mi F C ∧ mi F = − 1 2 ϵ a b mi F F mi ∧ mi F .
esto porque mi obedece las leyes de transformación
mi a ⟼ mi a + F a mi a ⟼ mi a − F a η a b F a = − F b .
Con
F a ∧ mi b ∧ ⋆ | mi F = ⋆ ( F a ∧ mi b ) ∧ F = − 1 2 ϵ a b C d F C ∧ mi d ∧ F
podemos obtener el mismo resultado que se muestra en la referencia.

Lo siento, tengo que dragar este hilo, pero tengo el mismo problema que tenía el autor. Resumamos: el usuario 148471 estaba tratando de decir que

  1. Tenemos que hacer la sustitución. mi a ↦ mi a + F a , y ENTONCES calcule el dual de Hodge, no a la inversa.
  2. Tenemos
    ⋆ ( mi a ∧ mi b ) = 1 2 ϵ C d a b mi C ∧ mi d
    PERO
    ⋆ ( F a ∧ mi b ) = − 1 2 ϵ C d a b F C ∧ mi d .
  3. Definimos F a como
    F a := − gramo a b F b = − η a b F b ,
    por eso
    η a b F a = − η a b η a C F C = − d   C b F C = − F b

En cuanto a 2. La fórmula

⋆ ( F a ∧ mi b ) = − 1 2 ϵ C d a b F C ∧ mi d .
resolvería el problema. ¿Pero es correcto? La fórmula parece no tener sentido ya que F a ,   a = 0 , 1 , 2 , 3 son variaciones de 1-formas de la base. ¿Qué pasa si tomamos
F a := mi a ,   a = 0 , 1 , 2 , 3 ?
Entonces tendremos
⋆ ( F a ∧ mi b ) = ⋆ ( mi a ∧ mi b )
y
− 1 2 ϵ C d a b mi C ∧ mi d = − 1 2 ϵ C d a b F C ∧ mi d = ⋆ ( F a ∧ mi b ) = ⋆ ( mi a ∧ mi b ) = 1 2 ϵ C d a b mi C ∧ mi d .
Esto nos dice que
⋆ ( mi a ∧ mi b ) = 0 ,
pero ¿por qué debería ser igual a 0? Cuando a = b entonces
⋆ ( mi a ∧ mi b ) = 0 ,
pero a y b no tiene que ser igual.

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