Invariancia de norma infinitesimal de Yang--Mills Lagrangian

$$F^2 \to F^2 + \alpha_i f^{ijk} F_{j\mu\nu} F_k^{\mu\nu}$$ $f^{ijk}$es completamente antisimétrica en todos sus índices y se contrae con algo que es simétrico en $jk$. Por lo tanto, la acción es invariante.

Podemos ver eso$f^{ijk}$es totalmente antisimétrica de la siguiente manera

$$[T^i , T^j] = f^{ij}{}_k T^k \implies \text{tr} \left( [ T^i , T^j ] T^k \right) = f^{ij}{}_\ell \text{tr} \left( T^\ell T^k \right) = f^{ij}{}_\ell \delta^{\ell k } = f^{ijk}$$ De este modo, $$f^{ikj} = \text{tr} \left( [ T^i , T^k ] T^j \right) = \text{tr} \left( [ T^j , T^i ] T^k \right) = - \text{tr} \left( [ T^i , T^j ] T^k \right) = - f^{ijk}$$ La segunda igualdad anterior se debe a la ciclicidad de la traza. De este modo, $f^{ijk} = f^{i[jk]}$. pero claramente $f^{ijk} = f^{[ij]k}$. Juntos esto implica $f^{ijk} = f^{[ijk]}$.