El lagrangiano de Faddeev-Popov

Esta es una continuación no abeliana de esta pregunta QED.

El lagrangiano para una teoría de norma no abeliana con grupo de norma GRAMO , y con campos de fermiones y campos fantasma incluidos está dado por

L = ψ ¯ ( i γ m D m − metro ) ψ + ∑ k = 1 oscuro ⁡ ( GRAMO ) [ − 1 4 F m v k F m v k + 1 2 ξ ( ∂ m A m k ) 2 + ∑ i = 1 oscuro ⁡ ( GRAMO ) C ¯ k ( − ∂ m D m k i ) C i ] .
¿Cómo funciona el tercer término (el que contiene ξ ) entrar en la imagen? El primer término es el lagrangiano de fermiones estándar que interactúa con un campo de calibre, el segundo término es el término estándar para los bosones de calibre y el cuarto surge debido a la introducción de los campos fantasma. . . pero ¿y el tercero?

Respuestas (3)

Creo que casi todos los libros de texto que incluyen el Faddeev-Popov Lagrangian también lo explican, pero también puede encontrar explicaciones en la web, por ejemplo, una del propio Faddeev en Scholarpedia:

http://www.scholarpedia.org/article/Faddeev-Popov_ghosts

Los fantasmas FP son necesarios para restaurar la unitaridad a nivel de un bucle y son los nuevos actores clave de la "cuantización covariante moderna (BRST)" de teorías con simetrías de calibre. Su existencia puede explicarse más fácilmente en el enfoque integral de trayectoria de Feynman para las teorías de calibre. Al final, necesitamos "calibrar fijamente" la simetría de calibre, es decir, elegir un representante particular de configuraciones de campo físicamente equivalentes para evitar el conteo múltiple (infinito). Esto significa que efectivamente estamos insertando un funcional delta en la integral de trayectoria.

Sin embargo, d ( k X ) no es lo mismo que d ( X ) : es | k | veces más pequeño. De manera similar, para una función delta multidimensional o función delta, la relación viene dada por un jacobiano (determinante de la matriz de derivadas). El único funcional delta legítimo sería uno que imponga una transformación de calibre particular (trivial). Sin embargo, las condiciones de fijación de calibre quieren hacer otras elecciones como A 3 = 0 y se debe insertar un jacobiano correspondiente para convertir este funcional delta en el correcto. El jacobiano es un determinante que puede expresarse como una integral de trayectoria sobre nuevos campos fermiónicos.

También se puede motivar la necesidad de fantasmas FP discutiendo la cuantificación BRST basada en q , una carga BRST nilpotente que obedece q 2 = 0 , una herramienta útil para describir estados físicos en todas las teorías con simetrías gauge. Los estados físicos son cohomologías de q . Esta plantilla de la respuesta elimina automáticamente tanto los estados que violan la restricción de Gauss (y sus generalizaciones) como los estados que son "medida pura" y los fantasmas FP son necesarios para definir tal q .

El término ( ∂ ⋅ A ) 2 / 2 ξ es un término particular de fijación de calibre que elimina la redundancia de calibre e impone una condición de fijación de calibre, en este caso impone "suavemente" la condición de Lorenz (¡no de Lorentz!). Podemos imaginar que además de las ecuaciones de movimiento, también se impone una restricción adicional, la condición de Lorenz, en el campo de norma. Pero aparte de este término, que podría ser reemplazado por otro si decidiéramos por una condición diferente de fijación de calibre, todavía es necesario incluir los términos de FP, al menos en teorías de calibre no abelianas.

En el artículo de Scholarpedia, estoy mirando la parte que comienza con "Una mejora más fue introducida por 't Hooft. . .". Casi parece como si el término sobre el que me pregunto se hubiera insertado a mano al permitir una condición de fijación de calibre más general. Con esta condición más general, la función delta relevante aporta un término distinto de cero al Lagrangiano. Si entiendo esto correctamente, todo está muy bien, pero ¿por qué la necesidad de una condición más general? Es ∂ m A m k ¿insuficiente? ¿No complica esto aún más las cosas al introducir un término adicional?
Estimado Jonathan, el último término complicado de FP tiene que estar ahí aparte del término de gradiente, de lo contrario, violaría la invariancia de calibre, es decir, el desacoplamiento de las polarizaciones longitudinales en el nivel de un bucle. Solo para el electromagnetismo, es decir, campos de calibre abelianos, uno puede organizar las cosas de modo que el término FP sea prácticamente innecesario. Pero no existe tal manera para las teorías no abelianas de Yang-Mills. ∂ m A m puede ser invariante de Lorentz pero no es invariante de calibre e incluso si lo reemplaza por ∇ m A m , que no es. El FPterm simplemente siempre se necesita para obtener la normalización correcta de delta

El tercer término es el término de fijación de calibre, puede pensar en 1 / 2 ξ como multiplicador de Lagrange. La MOE para ξ implementar la fijación del manómetro. Esa es la imagen intuitiva, la cuantización de los sistemas de calibre se puede tratar en varios niveles de sofisticación, afortunadamente la teoría de Yang-Mills es un caso relativamente fácil.

pregunta tangencial: ¿puedo implementar la restricción de condición de contorno como un término de 'fijación de calibre' también?
Pensando en el parámetro de fijación del calibre ξ como un multiplicador de Lagrange solo debe, en el mejor de los casos, tomarse como un mnemotécnico. Dado que no está fijado por la dinámica y puede elegirse libremente, no es realmente un multiplicador de Lagrange.

El tercer término es un término de fijación de calibre. En este momento, el artículo de Wikipedia sobre la fijación de indicadores tiene una buena sección aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing#R.CE.BE_gauges Estos expresan los llamados R ξ manómetros - con ξ = 1 llamado Feynman-'t Hooft gauge, y el límite ξ → 0 siendo el gálibo Landau, el límite tomado después de realizar los cálculos.

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